Tìm các giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện đã cho (phần 4) SVIP

Hướng dẫn giải:

​Điều kiện có 2 nghiệm phân biệt là  \(\Delta>0\Leftrightarrow25-4\left(m-3\right)>0\Leftrightarrow m< \dfrac{37}{4}\)

Định lí Viet và yêu cầu bài toán cho 

                        \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\left(1\right)\\x_1x_2=m-3\left(2\right)\\x_1^2-2x_1x_2+3x_2=1\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (1) suy ra  \(x_1=5-x_2\) (1'). Thế (1') vào (3) ta có

                     \(\left(5-x_2\right)^2-2\left(5-x_2\right)x_2+3x_2=1\)

                   \(\Leftrightarrow3x_2^2-17x_2+24=0\Leftrightarrow x_2=3;x_2=\dfrac{8}{3}\)

- Nếu \(x_2=3\) thì (1') suy ra  \(x_1=2\), thay vào (2) ta có  \(6=m-3\Leftrightarrow m=9\)

- Nếu \(x_2=\dfrac{8}{3}\) thì  \(x_1=5-\dfrac{8}{3}=\dfrac{7}{3}\) . Thế vào  (2) ta được 

                      \(\dfrac{56}{9}=m-3\Leftrightarrow m=\dfrac{83}{9}\)

Đáp số:     \(m=9;m=\dfrac{83}{9}\)

Hướng dẫn giải:

a) Khi m = 2 ta có phương trình  \(x^2-2x=0\Leftrightarrow x=0;x=2\).

b) \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-2m+4=\left(m-2\right)^2+1>0,\forall m\). Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Theo Viet ta có

              \(P=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m-1\right)^2-2\left(2m-4\right)\)

                   \(=\left(2m-3\right)^2+3\ge3\)

GTNN = 3 đạt được khi và chỉ khi \(m=\dfrac{3}{2}\).

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường

       \(x^2=\left(5m-1\right)x-6m^2+2m\)

  \(\Leftrightarrow x^2-\left(5m-1\right)x+6m^2-2m=0\)

  \(\Leftrightarrow x=2m;x=3m-1\)

Hai đường cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi \(3m-1\ne2m\Leftrightarrow m\ne1\)

b)   \(x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow4m^2+\left(3m-1\right)^2=1\)

   \(\Leftrightarrow3m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0;m=\dfrac{6}{13}\) (thỏa mãn điều kiện \(m\ne1\))

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm là

        \(x^2=-2x+m\Leftrightarrow x^2+2x-m=0\) (1)

(d) cắt (P) tại điểm có hoành độ là 2 khi và chỉ khi \(x=2\) là một nghiệm của phương trình tức là   \(2^2+2.2-m=0\Leftrightarrow m=8\).

b) Để (1) có nghiệm, điều kiện có nghiệm là  \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow1+m\ge0\Leftrightarrow m\le-1\)

Điều kiện       \(x_1^2+x_2^2=6x_1^2x_2^2\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6x_1^2x_2^2\)

\(\Leftrightarrow\left(-2\right)^2-2\left(-m\right)=6\left(-m\right)^2\Leftrightarrow3m^2-m-2=0\Leftrightarrow m=1;m=-\dfrac{2}{3}\)

Hướng dẫn giải:

a) (d) đi qua A(1;3) khi và chỉ khi    \(3=3m.1-3\Leftrightarrow m=2\)

​b) Phương trình xác định hoành độ giao điểm là          

              \(-x^2=3mx-3\Leftrightarrow x^2+3mx-3=0\)   (1)

(1) có \(\Delta=9m^2+12>0\) nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tung độ tương ứng là \(y_1=3mx_1-3;y_2=3mx_2-3\).

Yêu cầu bài toán trở thành   \(y_1+y_2=-10\Leftrightarrow3m\left(x_1+x_2\right)-6=-10\)

\(\Leftrightarrow-9m^2-6=-10\Leftrightarrow m^2=\dfrac{4}{9}\Leftrightarrow m=\pm\dfrac{2}{3}\)

Hướng dẫn giải:

 ​a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường là

               \(\dfrac{1}{2}x^2=mx-\dfrac{1}{2}m^2+m+1\)

           \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-mx+\dfrac{1}{2}m^2-m-1=0\)

           \(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-2m-2=0\)  (1)

Khi m = 1 thì (1) trở thành            \(x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x=-1;x=3\)

Hai giao điểm là  \(A\left(-1;\dfrac{1}{2}\right),B\left(3;\dfrac{9}{2}\right)\)

b) Cần tìm m để (1) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện      \(\left|x_1-x_1\right|=2\) 

    (1) có hai nghiệm:        \(\Delta'=2m+2\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)

      \(\left|x_1-x_1\right|=2\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)

        \(\Leftrightarrow4m^2-4\left(m^2-2m-2\right)=4\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{2}\)

 Đáp số: \(m=-\dfrac{1}{2}\)

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình xác định hoành độ giao điểm hai đường    

                     \(x^2=-x+6\Leftrightarrow x^2+x-6=0\Leftrightarrow x=-3;x=2\)

Hai giao điểm là   \(A\left(-3;9\right),B\left(2;4\right)\).

b) Tam giác OAB có   \(AB=\sqrt{\left(-3-2\right)^2+\left(9-4\right)^2}=5\sqrt{2}\). Kẻ đường cao OH thì tam giác OAB có diện tích 

                                     \(S=\dfrac{1}{2}AB.OH=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}.OH\)

Bài toán quy về tính OH. Đường thẳng (d): \(y=-x+6\) cắt hai trục tọa độ tại M(0;6) và N(6;0). Tam giác OMN vuông cân tại O, có cạnh OM = 6 nên đường cao OH (của tam giác ONM) là     \(OH=\dfrac{OM}{\sqrt{2}}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\). Vậy  \(S=15\)

Hướng dẫn giải:

a)     \(x^2-\left(m+5\right)x+3m+6=0\Leftrightarrow x^2-\left(m+5\right)x+3\left(m+2\right)=0\) luôn có hai nghiệm    \(x_1=3;x_2=m+2\)   

b) Yêu cầu bài toán tương đương với 

                \(\left\{{}\begin{matrix}x_1>0,x_2>0\\x_1^2+x_2^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2>0\\9+\left(m+2\right)^2=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m+2=4\Leftrightarrow m=2\)     

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình hoành độ giao điểm hai đường

      \(x^2=3x+m^2-1\Leftrightarrow x^2-3x-m^2+1=0\)  (1)

     \(\Delta=9-4\left(-m^2+1\right)=5+4m^2>0\)

(d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Cần tìm m để hai nghiệm của (1) thỏa mãn điều kiện

     \(\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=1\Leftrightarrow x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=0\Leftrightarrow-m^2+1+3=0\Leftrightarrow m=\pm2\)          

Hướng dẫn giải:

​a) Khi m = 2, ta có phương trình   \(x^2-4x+4=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow x=-2\)

b) \(\Delta'=4-\left(m+2\right)=2-m\) ,  \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\).

     \(x_1^2+x_2^2=3\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\left(x_1+x_2\right)\)   

\(\Leftrightarrow\left(4\right)^2-2\left(m+2\right)=3.4\Leftrightarrow m=0\)

Hướng dẫn giải:

​Phương trình    x²-2(m+1)x+m²+m+1=0   có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

                        \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m^2+m+1\right)=m>0\)

Điều kiên   \(x^2_1+x^2_2=3x_1x_2-1\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-5x_1x_2+1=0\)

                 \(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-5\left(m^2+m+1\right)+1=0\Leftrightarrow-m^2+3m=0\)

Đáp số:  m = 3.

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

Phương trình               \(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2-10=0\) có

    \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2+10=2m+11\).

Điều kiện có nghiệm:   \(m\ge-\dfrac{11}{2}\).

   \(C=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-2\left(m^2-10\right)=2\left(m+2\right)^2+16\)

C đạt giá trị nhỏ nhất bằng 16 khi  \(m=-2\).

Hướng dẫn giải:

1) \(x=3\)  là một nghiệm của   \(x^2-2x+m-3=0\)  khi 

                           \(3^2-2.3+m-3=0\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó nghiệm kia của phương trình  là  \(x=-1\).

2) Phương trình  \(x^2-2x+m-3=0\)  có      \(\Delta'=1-\left(m-3\right)=4-m\). Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  \(m< 4\). Khi đó

                 \(x^3_1+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=8-6\left(m-3\right)\)

                 \(x^3_1+x_2^3=8\Leftrightarrow6\left(m-3\right)=0\Leftrightarrow m=3\)  (thỏa mãn điều kiện \(m< 4\) ) 

Hướng dẫn giải:

​1) Khi m = 1:      \(x^2-4x+2=0\Leftrightarrow x=2\pm\sqrt{2}\)

2)     \(x^2-2\left(m+1\right)x+2m=0\)  có     \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m=m^2+1>0,\forall m\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Yêu cầu bài toán là 2 nghiệm của phương trình phải không âm và   \(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)+2\sqrt{x_1x_2}=2\)

                   \(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)+2\sqrt{2m}=2\Leftrightarrow m+\sqrt{2m}=0\Leftrightarrow m=0\)

Thử lại, khi m = 0, phương trình trở thành    \(x^2-2x=0\) có 2 nghiệm không âm là \(x=0,x=2\) .    Đáp số    \(m=0\).

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

​a) Phương trình hoành độ giao điểm   

           \(x^2=\left(5m-1\right)x-6m^2+2m\Leftrightarrow x^2-\left(5m-1\right)x+6m^2-2m=0\)

                               \(\Delta=\left(m-1\right)^2\ge0,\forall m\)

Đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm phân biệt khi \(m\ne0\)

b) Theo Viet         \(x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\Leftrightarrow\left(5m-1\right)^2-2\left(6m^2-2m\right)=1\)

                     \(\Leftrightarrow13m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0;m=\dfrac{6}{13}\)

Đáp số:   \(m=\dfrac{6}{13}\)

Hướng dẫn giải:

​b) Phương trình có   \(\Delta=m^2+16>0,\forall m\) . Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Theo Viet ta có

     \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)=x_1x_2\left(x_2+x_1\right)+\left(x_1+x_2\right)=-4m+m=-3m\)

Do đó \(x_1\left(x_2^2+1\right)+x_2\left(x_1^2+1\right)>6\Leftrightarrow-3m>6\Leftrightarrow m< -2\)