Tích của vectơ với một số SVIP

1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

⚡Tích của một vectơ $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}$ với một số thực $k>0$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $k\left|\overrightarrow{a}\right|$.

⚡Tích của một vectơ $\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}$ với một số thực $k< 0$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $\left(-k\right)\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ và $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.

Ta có $AG = \dfrac{2}{3} AM$ và $\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{AM}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{AM}$.

Chú ý. Ta quy ước $k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ nếu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ hoặc $k=0$.

Nhận xét. Vectơ $k \overrightarrow{a}$ có độ dài bằng $|k|\left|\overrightarrow{a}\right|$, cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu $k\geq0$, ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu $k<0$ và $k \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}$.

 2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ

Với hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và hai số thực $k,t$, ta luôn có:

⚡$k\left(t\overrightarrow{a}\right)=\left(kt\right)\overrightarrow{a};$     

      ⚡$\left(k+t\right)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{a};$

⚡$k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b};k\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b};$

⚡$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a};\left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}.$

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$, $I$ là trung điểm của $AM$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}.$

Lời giải

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC} = 2\overrightarrow{IM}$.

Mặt khác, $I$ là trung điểm của $AM$ nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM} = 2\overrightarrow{0}$.

Do đó $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{IA} = 2\overrightarrow{IM} + 2\overrightarrow{IA} = 2\left(\overrightarrow{IM} + \overrightarrow{IA} \right)= \overrightarrow{0}.$

Nhận xét.

⚡Điểm $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}.$ 

⚡Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.$

Chú ý. Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\). Khi đó mọi vectơ \(\overrightarrow{u}\) đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\), nghĩa là có duy nhất cặp số \(\left(x;y\right)\) sao cho \(\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}.\)

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$, $I$ là trung điểm của $AM$. Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AI}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Lời giải

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{A M} \, (1)$.

Mặt khác $I$ là trung điểm $A M$ nên $2 \overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A M} \, (2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=4 \overrightarrow{A I} \Leftrightarrow \overrightarrow{A I}=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$.

 Ví dụ 4. Cho tam giác $A B C$. Gọi $M$ là trung điểm của $A B$ và $N$ thuộc cạnh $A C$, sao cho $N C=2 N A$. Xác định điểm $K$ thỏa mãn $3 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}-12 \overrightarrow{A K}=\overrightarrow{0}.$

Lời giải

Theo giả thiết, $3 \overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{A C}-12 \overrightarrow{A K}=\overrightarrow{0} \, (1)$

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{A M} \, (2)$

$NC=2NA$ nên $\overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{A N} \, (3)$

Thay $(2)$ và $(3)$ vào $(1)$ ta được: $6 \overrightarrow{A M}+6 \overrightarrow{A N}-12 \overrightarrow{A K}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{A K}=$ $\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A N})$.

Suy ra $K$ là trung điểm của $MN$.