Phép chia hết. Ước và bội số nguyên SVIP

1. PHÉP CHIA HẾT

Cho \(a,b\inℤ\) với \(b\ne0\). Nếu có số nguyên \(q\) sao cho \(a=bq\) thì ta có phép chia hết \(a:b=q\) (trong đó ta cũng gọi \(a\) là số bị chia, \(b\) là số chia và \(q\) là thương). Khi đó ta nói \(a\) chia hết cho \(b\), kí hiệu là \(a⋮b\).

Dấu của thương

\(\left(+\right):\left(+\right)\rightarrow\left(+\right)\)

\(\left(-\right):\left(-\right)\rightarrow\left(+\right)\)

\(\left(+\right):\left(-\right)\rightarrow\left(-\right)\)

\(\left(-\right):\left(+\right)\rightarrow\left(-\right)\)

Ví dụ 1. 

a) \(15⋮\left(-3\right)\) vì \(15=\left(-3\right).\left(-5\right)\) .

Ta có \(15:\left(-3\right)=-5\).

b) \(\left(-35\right)⋮\left(-5\right)\) vì \(-35=\left(-5\right).7\).

Ta có \(\left(-35\right):\left(-5\right)=7\).

Nhận xét: Từ $8 \, : \, 4 = 2$ ta suy ra được những phép chia hết sau:

$8 \, : \, (-4) = -2$; $(-8) \, : \, (-4) = 2$; $(-8) \, : \, 4 = -2$.

2. ƯỚC VÀ BỘI

Khi $a \, \vdots \, b$ \(\left(a,b\inℤ,b\ne0\right)\), ta còn gọi \(a\) là một bội của \(b\) và \(b\) là một ước của \(a\).

Ví dụ 2. 

a) \(-3\) là một ước của \(15\) vì \(15⋮\left(-3\right)\).

b) \(-35\) là một bội của \(-5\) vì \(\left(-35\right)⋮\left(-5\right)\).

Nhận xét:

+ Nếu \(a\) là một bội của \(b\) thì \(-a\) cũng là một bội của \(b\).

+ Nếu \(b\) là một ước của \(a\) thì \(-b\) cũng là một ước của \(a\).

Để tìm các ước của số nguyên \(a\), ta lấy các ước dương của \(a\) cùng với các số đối của chúng.

Ví dụ 3. Tìm các ước của $4$; các ước của $6$.

Lời giải

Ta có các ước dương của \(4\) là \(1;2;4\).

Suy ra tất cả các ước của \(4\) là \(1;-1;2;-2;4;-4\).

Ta có các ước dương của \(6\) là \(1;2;3;6\).

Suy ra tất cả các ước của \(6\) là: \(1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\).

Chú ý: Ta thấy các số \(-2;-1;1\) và \(2\) vừa là ước của \(6\), vừa là ước của \(4\). Chúng được gọi là những ước chung của \(6\) và \(4\).

Ví dụ 4. Tìm các bội của $6$.

Lời giải

Lần lượt nhân $6$ với $0; \,1; \,2; \,3$; ... ta được các bội dương của $6$ là: $0$; $6$; $12$; $18$; ...

Do đó các bội của $6$ là \(0;6;-6;12;-12;18;-18;\) ...