Phần tự luận SVIP

Hướng dẫn giải:

1) Do đồ thị hàm số $y =(a-1)x^2$ đi qua điểm $A(1;-2)$

Suy ra thay $x =-1;\,y = -2$ vào hàm số ta được $(a-1).1^2 = -2$.

$a-1=-2$

$a=-1$

Vậy $a = -1$ thì đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1;-2)$.

2)

a) $t=3$ (s) thì $S=5.32 = 45$ (m)

Sau thời gian $3$ giây vật cách mặt đất là: $80-45 = 35$ (m)

b) $S=80$ (m)

Ta có: $5t^2=80 > t^2 = 16$

Suy ra $t=4$ (s) (Vì $t>0$)

Vậy sau thời gian $4$ giây thì vật tiếp đất.

Hướng dẫn giải:

a) Với $m=-12$ phương trình đã cho trở thành $x^2-5x-14=0$

Ta có: $\Delta =(-5)^2 - 4.1.(-14) = 81 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\dfrac{5+\sqrt{81}}{2}=7;\,x_2=\dfrac{5-\sqrt{81}}{2}=-2$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ -2;7 \right\}$ khi $m=-12$.

b) Để (1) có $2$ nghiệm phân biệt dương thì $\left\{ \begin{aligned} & \Delta >0 \\  & S=5>0 \\  & P=m-2>0 \end{aligned} \right.$

$ \left\{ \begin{aligned}  & 25-4m+8>0 \\ & m>2 \end{aligned} \right.$

$ \left\{ \begin{aligned}  & m<\dfrac{33}{4} \\ & m>2 \end{aligned} \right.$

$ 2<m<\dfrac{33}{4}$ (*)

Theo định lí Viète ta có $\left\{ \begin{aligned}  & x_1+x_2=5 \\  & x_1.x_2=m-2 \end{aligned} \right.$

Ta có: $2\Big( \dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}} \Big)=3$

$2\Big( \dfrac{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}{\sqrt{x_1.x_2}} \Big)=3$

$2(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})=3\sqrt{x_1.x_2}$

$4( x_1+x_2+2\sqrt{x_1.x_2})=9x_1.x_2$

Suy ra $4.(5+2\sqrt{m-2})=9(m-2)$

$9(m-2)-8\sqrt{m-2}-20=0$

Đặt  $\sqrt{m-2}=t, \,t\ge 0$, ta có phương trình $9t^2-8t-20=0.$

Giải phương trình, ta có  $t_1=2$ (thỏa mãn); $t_2=-\dfrac{10}{9}$ (loại).

Với $t_1=2$:

$\sqrt{m-2}=2$

$m=6$ (thỏa mãn).

Vậy giá trị của $m$ là $m = 6$.

Hướng dẫn giải:

Gọi $x$ là số xe được điều đến chở hàng lúc đầu ($x \in \mathbb{Z}, x > 2$).

Số xe lúc sau là $x-2$ (xe).

Số hàng mỗi xe phải chở lúc đầu là $\dfrac{67,5}{x}$ (tấn).

Số hàng mỗi xe phải chở lúc sau là $\dfrac{67,5}{x-3}$ (tấn)

Ta có phương trình: $\dfrac{67,5}{x-3} -\dfrac{67,5}{x} = \dfrac{1}{4} $

Giải phương trình trên, ta được $x_1 =30$ (thoả mãn); $x_2 =- 27$ (loại).

Vậy công ty đã điều $30$ xe đến chở hàng.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $\widehat{ADE}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông)

Vì $EH\bot AB$ nên $\widehat{AHE} = 90^\circ$

Xét tứ giác $ADEH$ có $\widehat{ADE} + \widehat{AHE}= 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Mà hai góc ở vị trí đối nhau

Suy ra tứ giác $ADEH$ nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh $BCEH$ là tứ giác nội tiếp

Suy ra: $\widehat{CHE}=\widehat{CBE}$ (cùng chắn cung $EC$)

Mà $\widehat{CBE}=\widehat{DBC}=\widehat{DKC}$ (cùng chắn cung $DC$ của đường tròn $(O)$) 

Suy ra $\widehat{DKC}=\widehat{CHE}\Rightarrow EH//DK$

Mà $EH\bot AB\Rightarrow DK\bot AB$ tại $I$.

Xét $(O)$ có $AB$ là đường kính, $DK$ là dây, mà  $DK\bot AB$ suy ra $I$ là trung điểm của $DK$.

c) Ta có $ADEH, BCEH$ là các tứ giác nội tiếp, suy ra $\widehat{DAE}=\widehat{DHE},\widehat{EHC}=\widehat{EBC}$ (1)

Mặt khác $\widehat{DAC}=\widehat{CBD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $DC$)

Suy ra $ \widehat{DAE}=\widehat{CBE}$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $\widehat{DHE}=\widehat{EHC}=\widehat{EBC}$ suy ra $\widehat{CHD}=2\widehat{EBC}$

$\Delta CEB$ vuông tại $C$ có $CM$ là trung tuyến, suy ra $CM = MB$.

Suy ra $\Delta CMB$ cân tại $M$

Do đó $\widehat{CMD}=2\widehat{EBC}$

$\widehat{CHD}=\widehat{CMD}$

Suy ra $DHMC$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow NC.ND=NM.NH$ (3)

$HMBF$ là tứ giác nội suy ra $NM. NH = NB. NF$ (4)

Từ (3), (4) suy ra $NB. NF = NC. ND$ suy ra $\dfrac{NB}{ND}=\dfrac{NC}{NF}$

Kết hợp $\widehat{DNF}=\widehat{BNC}$ suy ra $\Delta NBC\backsim \Delta NDF$ suy ra $\widehat{NBC}=\widehat{NDF}=\widehat{CDF}$

Suy ra $BCDF$ là tứ giác nội tiếp,  suy ra $F$ thuộc $(O)$.

Hướng dẫn giải:

a) Cỡ mẫu $n = 2 + 8 + 15 + 30 + 22 + 15 + 7 + 1 = 100$.

Bảng tần số tương đối cho dữ liệu được biểu diễn trên biểu đồ là:

b) Xác suất một từ có nhiều hơn $5$ chữ cái là:

$15\% + 7\% + 1\% = 23\%$.

Vậy ước lượng cho xác suất một từ có nhiều hơn $5$ chữ cái khoảng $ 23\%$.