Phần tự luận (3 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) Điều kiện: $ x \geq 1 $.  

Bình phương hai vế của phương trình ta được:  $2x^2 - 5x - 9 = x^2 - 2x + 1  \Leftrightarrow x^2 - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow  \begin{cases} x = 5 \\ x = -2 \end{cases}.$ 

Đối chiếu với điều kiện $ x \geq 1 $ ta thấy chỉ có $ x = 5 $ thỏa mãn.  

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $ x = 5 $.

b) Ta có: $f(x) = x^2 - 2(2m - 3)x + 4m - 3 > 0, \, \forall x \in \mathbb{R}.$  

Điều kiện: $\begin{cases} a > 0 \\ \Delta' < 0 \end{cases}  \Leftrightarrow  \begin{cases} 1 > 0 \\ (2m - 3)^2 - (4m - 3) < 0 \end{cases}.$

Từ đó: $(2m - 3)^2 - (4m - 3) < 0  \Leftrightarrow  4m^2 - 16m + 12 < 0  \Leftrightarrow  1 < m < 3.$ 

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng \( d_1: (2m - 1)x + my - 10 = 0 \) có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n_1} = (2m - 1; m) \).  

Đường thẳng \( d_2: 3x + 2y + 6 = 0 \) có một vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n_2} = (1; 2) \).  

Hai đường thẳng \( d_1 \perp d_2 \Rightarrow \overrightarrow{n_1} . \overrightarrow{n_2} = 0 \):  
\[(2m - 1) + 2m = 0 \Rightarrow  4m - 1 = 0 \Rightarrow m = \dfrac{1}{4} = 0,25.\]  

Hướng dẫn giải:

Ta thấy có hai đại lượng thay đổi là giá vé và số lượng khán giả. Gọi $ x $ là giá vé ($ x > 0 $).  

Số tiền giá vé được giảm xuống là $ 14 - x $.  

Số khán giả tăng lên là $ 1\,000(14 - x) $.  

Số khán giả là: $9\,500 + 1\,000(14 - x).$  

Do lợi nhuận = giá vé $\cdot$ số khán giả nên nếu gọi lợi nhuận thu được là $ y $ thì: $y = x . \left(9\,500 + 1\,000(14 - x)\right) = -1\,000x^2 + 23\,500x.$  

Do $ y $ là tam thức bậc hai nên nhận giá trị cực đại khi $ x = -\dfrac{b}{2a} $:  
$x = -\dfrac{23\,500}{-2\,000} = 11,75.$  

Vậy giá vé bằng $ 11,75 $ thì thu được nhiều lợi nhuận nhất.