Phần tự luận (3 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

Đặt $ f(x) = 6x^2 + 7x - 5 $, có $ \Delta = 169 > 0 $ nên có hai nghiệm phân biệt là: $x_1 = \dfrac{1}{2}, \, x_2 = -\dfrac{5}{3}.$ 

 Vì $ a = 6 > 0 $, ta lập bảng xét dấu:  

Dựa vào bảng xét dấu, tập nghiệm của bất phương trình là:  
$S = \Big(-\infty; -\dfrac{5}{3}\Big) \cup \Big(\dfrac{1}{2}; +\infty\Big).$

b) Điều kiện để bất phương trình đúng với mọi $ x $:  
$\left\{ \begin{aligned} &a > 0 \\ &\Delta' < 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &1 > 0 \\ &16 - 4.1.(2m - 1) < 0 \end{aligned} \right.$  

Từ đó:  $16 - 4(2m - 1) < 0 \Leftrightarrow 16 - 8m + 4 < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{5}{2}.$  

Hướng dẫn giải:

a) $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $3x + 2y + 99 = 0$ 

Suy ra $\Delta$ có dạng là: $2x - 3y + c = 0.$  

Thay $ N(2; -1) $ vào $ \Delta $:  
$2 . 2 - 3.(-1) + c = 0 \Rightarrow c = -7.$  

Vậy $\Delta: 2x - 3y - 7 = 0.$  

b) Tâm $ I $ là trung điểm $ AB $:  
$x_I = \dfrac{x_A + x_B}{2} = \dfrac{1 + 3}{2} = 2, \quad y_I = \dfrac{y_A + y_B}{2} = \dfrac{1 + 5}{2} = 3 \quad \Rightarrow \, I(2; 3).$  

Bán kính $ R $: $R = IA = \sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{5}.$  

Phương trình đường tròn: $(C): (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5.$  

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết, ta có hệ phương trình:  
$\left\{ \begin{aligned} &h(0) = \dfrac{3}{2} \\&h(2) = 5 \\& h(4) = \dfrac{9}{2} \end{aligned} \right.$ $\Rightarrow\left\{ \begin{aligned} &a(0)^2 + b(0) + c = \dfrac{3}{2} \\& a(2)^2 + b(2) + c = 5 \\&a(4)^2 + b(4) + c = \dfrac{9}{2} \end{aligned} \right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{aligned} & c = \dfrac{3}{2} \\ & 4a + 2b + c = 5 \\& 16a + 4b + c = \dfrac{9}{2} \end{aligned} \right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{aligned}  & c = \dfrac{3}{2} \\& a = -\dfrac{1}{2}, \\ &b = \dfrac{11}{4} \end{aligned} \right.$  

Vậy phương trình độ cao:  
$h = -\dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{11}{4}t + \dfrac{3}{2}.$  
Khi $ t = 5,5 $:  $h = -\dfrac{1}{2}.(5,5)^2 + \dfrac{11}{4},(5,5) + \dfrac{3}{2} = 1,5.$  

Vậy sau $5,5$ giây, quả bóng đạt độ cao $1,5$ mét so với mặt đất.