Phần tự luận (3 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

a) $-2x^2+18x+20\ge 0$

Phương trình: $-2x^2 + 18x + 20 = 0$ có $2$ nghiệm  $x_1 = -1, x_2 = 10$

Lập bảng xét dấu $f(x) = -2x^2 + 18x + 20$

Vậy $S = [-1, 10]$.

b) $\sqrt{2x^2-8x+4}=x-2$

Bình phương hai vế được phương trình: $2x^2 – 8x + 4 = (x – 2)^2$

Rút gọn được phương trình: $x^2 – 4x = 0$ có hai nghiệm $x_1 = 0, x_2 = 4$.

Thử lại nghiệm được $x = 4$ thỏa mãn phương trình. Vậy $S = { 4 }$.

Hướng dẫn giải:

a) 

Vectơ pháp tuyến đường thẳng $\Delta$ và $\Delta_1$ là $\overrightarrow{n_{\Delta}}=(3;-4)$ và $\overrightarrow{n_{\Delta_1}}=(12;-5)$

Ta có: $\cos \alpha =\left| \cos\left( \overrightarrow{{{n}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{1}}}}} \right) \right|$$=\dfrac{\left| 12.3+4.5 \right|}{5.13}=\dfrac{56}{65}$

b) $(C)$ có tâm $I(-3; 2)$, bán kính $R = 6$

Đường thẳng $d$ có dạng  $3x - 4 y + m = 0$ ($m$ khác $7$)

$d$ tiếp xúc $(C)$ khi và chỉ khi $d(I,d)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| -9-8+m \right|}{5}=6$

Tìm được $m = 47$ (TM), $m = -13$ (TM) 

Vậy có $2$ đường thẳng $d$ thỏa mãn là $3x - 4y + 47 = 0$ và $3x - 4y - 13 = 0$

Hướng dẫn giải:

Gọi chiều dài đoạn dây điện kéo từ $A$ đến $B$ là $AB=x$ (km).

Khi đó chiều dài dây điện kéo từ $B$ đến $C$ là $BC=\sqrt{1+{{(5-x)}^{2}}}=\sqrt{x^2-10x+26}$ (km)

Tổng tiền công là $3\sqrt{x^2-10x+26}+2x=13$
$\Leftrightarrow 3\sqrt{x^2-10x+26}=13-2x$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}  & 13-2x\ge 0 \\  & 9\left( x^2-10x+26 \right)=169-52x+4x^2 \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\le \dfrac{13}{2} \\  & 5x^2-38x+65=0 \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}  & x\le \dfrac{13}{2} \\  & \left[ \begin{aligned}  & x=5 \\  & x=\dfrac{13}{5} \end{aligned} \right. \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{13}{5}$.

Khi đó $AB=x=\dfrac{13}{5}\Rightarrow BC=\dfrac{13}{5}$(km).

Khi đó tổng chiều dài dây điện đã kéo từ $A$ đến $C$ là:$AB+BC=\dfrac{26}{5}$ (km).