Phần tự luận (3 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $4\sqrt{5}$, $O$ là tâm của $A'B'C'D'$.

Gọi $M,\,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,\, A'B.$

$\Rightarrow MN=AA'=4\sqrt{5}$,

$OM=\dfrac{1}{2}A'D'=2\sqrt{5}$.

Lại có: $\left\{ \begin{aligned}& AB\bot OM \\& AB\bot MN \\\end{aligned} \right.$

$\Rightarrow AB\bot ON$

$\Rightarrow d(O,AB )=ON$

$=\sqrt{OM^2+MN^2}=10$.

Hướng dẫn giải:

 Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Ta có $\left\{ \begin{aligned}& BD\bot AO \\& BD\bot A{A}' \\\end{aligned} \right.$

$\Rightarrow BD\bot (AO{A}')\Rightarrow {A}'O\bot BD$.

Khi đó $(({A}'BD ),(ABCD ) )=({A}'O,AO )=\widehat{{A}'OA}=30{}^\circ $.

Vẽ $AH\bot {A}'O$ tại $H$.

Ta có $BD\bot (AO{A}' )\Rightarrow ({A}'BD )\bot (AO{A}' )$.

Khi đó $\left\{ \begin{aligned}& (AO{A}' )\bot ({A}'BD ) \\& (AO{A}' )\cap ({A}'BD )={A}'O \\&AH\bot {A}'O \\\end{aligned} \right.$

$\Rightarrow AH\bot ({A}'BD )\Rightarrow d(A,({A}'BD ) )=AH$.

$AC=BD=2a\Rightarrow AO=a$,

$AH=AO.\sin \widehat{AO{A}'}=a.\sin 30{}^\circ =\dfrac{a}{2}$.

Vậy $d(A,({A}'BD ) )=\dfrac{a}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Gọi số tiền bạn Bình rút ra hàng tháng là $x$(triệu đồng) $(x>0 )$, số tiền ban đầu là $P$(triệu đồng), $(P>0 )$, lãi suất tiền gửi hàng tháng là $r$, $(r>0 )$.

Lãi suất nhận được sau tháng thứ nhất là: $P.r$ (triệu đồng).

Số tiền cuối tháng thứ nhất sau khi rút còn lại: ${{P}_{1}}=P(1+r )-x$ (triệu đồng).

Lãi suất nhận được sau tháng thứ nhất là: ${{P}_{1}}.r$ (triệu đồng).

Số tiền cuối tháng thứ nhất sau khi rút còn lại:

${{P}_{2}}={{P}_{1}}(1+r )-x=P{{(1+r )}^{2}}-x(1+r )-x$ (triệu đồng).

Cứ như thế, số tiền còn lại sau $n$ tháng là:

${{P}_{n}}=P{{(1+r )}^{n}}-x{{(1+r )}^{n-1}}-x{{(1+r )}^{n-2}}-....-x(1+r )-x$

${{P}_{n}}=P{{(1+r )}^{n}}-x.\dfrac{{{(1+r )}^{n}}-1}{r}$ (triệu đồng).

Sau 48 tháng, số vừa hết khi và chỉ khi

${{P}_{n}}=0$

$\Leftrightarrow P{{(1+r )}^{48}}-x.\dfrac{{{(1+r )}^{48}}-1}{r}=0$

$\Leftrightarrow 200{{(1,0045 )}^{48}}-x.\dfrac{{{(1,0045 )}^{48}}-1}{0,0045}=0$

$\Leftrightarrow x\approx 4,642$ (triệu đồng).