Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): \, 2x-2y+z+4=0$. Khoảng cách $d$ từ điểm $M(1;2;1)$ đến mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$ mặt phẳng $(P): \, \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{-1}=1$, có một vectơ pháp tuyến là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ góc giữa trục $Oz$ và mặt phẳng $(P):x-y+\sqrt{2}z+2\,024=0$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai đường thẳng $d_1:\left\{ \begin{aligned}& x=1+t \\& y=t \\& z=3-2t \end{aligned} \right.$ và $d_2:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-5}{-2}.$ Vị trí tương đối của $d_1$ và $d_2$ là

Trong hệ toạ độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=1$ có tâm là điểm nào dưới đây?

Trong không gian ${ O x y z}$, mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=16$ đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau $d_1: \, \dfrac{x-1}{-2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-4}{3}$ và $d_2: \, \dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+2}{3}$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $\left(P \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $\left(d \right):\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z}{-1}$ và cắt các trục $Ox,\,Oy$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho đường thẳng $AB$ vuông góc với $(d)$. Phương trình của mặt phẳng $\left(P \right)$ là

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B'C'$ có chiều cao bằng $5$, đáy là tam giác vuông cân tại $A$, cạnh bằng $3$. $M$ là trung điểm của $BC$. Góc tạo bởi đường thẳng $A’M$ và $AB$ bằng $a^\circ$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Giá trị $a$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(2; 1; -1)$; $B(-1;0;1)$; $C(2;2;3)$. Đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác $ABC$ và vuông góc với $(ABC)$ có phương trình là

Cho mặt cầu $$\left( S \right)$$ tâm $$I\left( 1;\,\,2;\,-4 \right)$$ và có thể tích bằng $$36\pi$$. Phương trình của mặt cầu $$\left( S \right)$$ là

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $M(2;0;-1)$, $N(1;-1;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):\,3x+2y-z+5=0$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;3;-1),\,B(4;1;0),\,C(4;7;3)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A( 1;0;0 );\,B( 0;\sqrt{2};0 )$ và các đường thẳng $d_1:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y}{-\sqrt{2}}=\dfrac{z-2}{1}$ ,$d_2:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-2}{-2}=\dfrac{z+3}{1}$, $\Delta :\left\{ \begin{aligned} & x=2+t \\ & y=1+\sqrt{2}t \\ & z=2+mt \end{aligned} \right.$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(-1; 2; 5)$. Biết trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $4$ km.