Kiến thức trọng tâm: Đa giác đều, phép quay SVIP

1. Đa giác đều

Định nghĩa: Đa giác đều là đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Chú ý:

+ Đa giác đều có $n$ cạnh gọi là $n$-giác đều.

+ Khi $n$ lần bằng $3, \, 4, \, 5, \, 6,...$ ta có tam giác đều, tứ giác đều, ngũ giác đều, lục giác đều, ….

+ Người ta chứng minh được rằng các đỉnh của mỗi đa giác đều luôn cùng nằm trên một đường tròn, được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác, tâm đường tròn được gọi là tâm đa giác đều và đa giác đều được gọi là nội tiếp đường tròn.

Công thức: Đa giác đều có $n$ cạnh bằng nhau và cũng có $n$ góc bằng nhau nên có công thức tính số đo mỗi góc là: $\dfrac{(n-2){{.180}^\circ}}{n}$.

Ví dụ 1. Tính số đo của mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều (đa giác đều 8 cạnh).

Lời giải

Mỗi góc của ngũ giác đều bằng: $\dfrac{(5-2){{.180}^\circ}}{5}=108^\circ$;

Mỗi góc của ngũ lục đều bằng: $\dfrac{(6-2){{.180}^\circ}}{6}=120^\circ$;

Mỗi góc của bát giác đều bằng: $\dfrac{(8-2){{.180}^\circ}}{8}=135^\circ$.

2. Phép quay

Cho điểm $O$ cố định và số thực ${\alpha }^\circ$.

+ Phép quay thuận chiều $\alpha^\circ, \, (0^\circ<\alpha^\circ<360^\circ)$ tâm $O$ giữ nguyên điểm $O$, biến điểm $M$  (khác điểm $O$) thành điểm $M'$ thuộc đường tròn $(O;OM)$ sao cho tia $OM$ quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia $OM'$ thì điểm $M$ tạo nên cung $MM'$ có số đo $\alpha^\circ$. Định nghĩa tương tự cho phép quay ngược chiều $\alpha^\circ$ tâm $O$.

+ Phép quay $0^\circ$ và phép quay $360^\circ$ giữ nguyên mọi điểm.

Chú ý:

+ Ta coi mỗi phép quay tâm $O$ biến $O$ thành chính nó.

+ Nếu một phép quay biến các điểm $M$ trên hình $H$ thành các điểm $M'$ thì các điểm $M'$ tạo thành hình $H'$. Khi đó, ta nói phép quay biến hình $H$ thành hình $H'$. Nếu hình $H'$ trùng với hình $H$ thì ta nói phép quay biến hình $H$ thành chính nó.

+ Người ta chứng minh được rằng chỉ có các phép quay sau đây giữ nguyên hình đa giác đều ${{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}, \, \left( n\ge 3,n\in \mathbb{N} \right)$ với tâm $O$: các phép quay thuận chiều $\alpha^\circ$ tâm $O$ và các phép quay ngược chiều $\alpha^\circ$ tâm $O$, với $\alpha^\circ$ lần lượt nhận các giá trị: $\alpha^\circ=\dfrac{360^\circ}{n}; \, \alpha^\circ=\dfrac{{{2.360}^\circ}}{n};...; \, \alpha^\circ=\dfrac{n{{.360}^\circ}}{n}={{360}^\circ}$

Ví dụ 2. Cho hình ngũ giác đều$ABCDE$ tâm $O$.

a) Phép quay thuận chiều tâm $O$ biến điểm $A$ thành điểm $E$ thì các điểm $B,C,D,E$ tương ứng biến thành các điểm nào?

b) Chỉ ra các phép quay tâm $O$ giữ nguyên hình ngũ giác đều $ABCDE$.

Lời giải

a) Vì ABCDE là ngũ giác đều nên: $OA=OB=OC=OD=OE$

và $AB=BC=CD=DE=EA$

Suy ra $\widehat{A O B}=\widehat{B O C}=\widehat{C O D}=\widehat{D O E}=\widehat{E O A}=\dfrac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$

Khi đó, phép quay ngược chiều $72^{\circ}$ biến các điểm $B, C, D, E$ thành các điểm $A, B, C, D$.

b) Các phép quay tâm O giữ nguyên hình ngũ giác đều:

Phép quay thuận chiều $72^{\circ}$; $144^{\circ}$; $216^circ$; $288^{\circ}$; $360^{\circ}$ tâm O.

Phép quay ngược chiều $72^{\circ}$; $144^{\circ}$; $216^circ$; $288^{\circ}$; $360^{\circ}$ tâm O.