Kiến thức nền tảng: Biến đổi biểu thức chứa căn SVIP

A. LÝ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA

Căn bậc hai

+ Cho số thực $a$ không âm. Số thực $x$ thỏa mãn ${{x}^{2}}=a$ được gọi là căn bậc hai của $a$;

+ Mỗi số thực dương $a, \, ( a\ge 0)$ có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau. Số dương kí hiệu là: $\sqrt{a}$, số âm kí hiệu là: $-\sqrt{a}$. Ta gọi $\sqrt{a}$ là căn bậc hai số học của $a$.

Căn thức bậc hai

Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt{A}$ là căn thức bậc hai của $A$, còn $A$ được gọi là biểu thức lấy căn bậc hai hay biểu thức dưới dấu căn.

Căn bậc ba

Cho số thực $a$. Số thực $x$ thỏa mãn ${{x}^{3}}=a$ được gọi là bậc ba của $a$. Mỗi số thực đều có đúng một căn bậc ba, kí hiệu là: $\sqrt[3]{a}$.

Căn thức bậc ba

Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt[3]{A}$ là căn thức bậc ba của $A$, còn $A$ được gọi là biểu thức lấy căn bậc ba hay biểu thức dưới dấu căn.

2. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH

Điều kiện xác định cho căn thức bậc hai $\sqrt{A}$ là $A\ge 0.$

Điều kiện xác định cho căn thức bậc ba$\sqrt[3]{A}$ chính là điều kiện xác định biểu thức $A$.

3. SO SÁNH

⚡Với $a, \, b\ge 0$, ta có:

+ Nếu $a<b$ thì $\sqrt{a}<\sqrt{b}$.

+ Nếu $\sqrt{a}<\sqrt{b}$ thì $a<b$.

⚡Với a, b bất kì:

+ Nếu $a<b$ thì $\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$. 

+ Nếu $\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$ thì $a<b$.

4. PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC BẬC HAI

Căn thức bậc hai của một bình phương

Với mỗi biểu thức $A$, ta có: $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|=\left\{ \begin{aligned}   & A,\left( A\ge 0 \right) \\  & -A,\left( A<0 \right) \\ \end{aligned} \right.$.

Căn thức bậc hai của một tích

Với các biểu thức $A, \, B$ không âm, ta có: $\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$.

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với các biểu thức $A, \, B$ mà $B\ge 0$, ta có: $\sqrt{{{A}^{2}}B}=\left| A \right|\sqrt{B}$.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+ Với các biểu thức $A \ge 0, \, B\ge 0$, ta có: $A\sqrt{B}=\sqrt{{{A}^{2}}B}$;

+ Với các biểu thức $A<0, \, B\ge 0$, ta có: $A\sqrt{B}=-\sqrt{{{A}^{2}}B}$.

Căn thức bậc hai của một thương

Với biểu thức $A$ không âm và biểu thức $B$ dương, ta có: $\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

Trục căn thức ở mẫu

+ $\dfrac{A}{\sqrt{B}}=\dfrac{A\sqrt{B}}{B}, \, (B>0)$;

+ $\dfrac{C}{\sqrt{A}+B}=\dfrac{C( \sqrt{A}-B )}{A-{{B}^{2}}}$;    $\dfrac{C}{\sqrt{A}-B}=\dfrac{C\left( \sqrt{A}+B \right)}{A-{{B}^{2}}}, \, \left( A\ge 0;\, A\ne {{B}^{2}} \right)$;

+ $\dfrac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\dfrac{C\left( \sqrt{A}-\sqrt{B} \right)}{A-B}$;    $\dfrac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\dfrac{C\left( \sqrt{A}+\sqrt{B} \right)}{A-B}, \, \left( A,B\ge 0;A\ne B \right)$.

CHÚ Ý: Để trục căn thức ở mẫu, bình thường ta nhân cả tử và mẫu của phân thức với lượng liên hợp của mẫu và cần các hằng đẳng thức sau: $\left( a-b \right)\left( a+b \right)={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$

Các dạng liên hợp cơ bản thường gặp: $\left( \sqrt{A}-\sqrt{B} \right)\left( \sqrt{A}+\sqrt{B} \right)=A-B$; $\left( A-\sqrt{B} \right)\left( A+\sqrt{B} \right)={{A}^{2}}-B$.

B. BÀI TẬP

Dạng 1. Tính giá trị biểu thức

Bài 1. Tính giá trị của $A=\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}$ khi $x=25$.

Lời giải

Thay $x=25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$ ta có:

$A=\dfrac{\sqrt{25}+3}{\sqrt{25}+1}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$.

Dạng 2. Biến đổi, rút gọn biểu thức chứa căn thức

Bài 2. Cho biểu thức $B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{12}{x-4}$ với $x\ge 0$, $x\ne 4$. Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}$.

Lời giải

Với $x\ge 0$, $x\ne 4$.

Ta có: $B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{3}{\sqrt{x}+2}-\frac{12}{x-4}$

$=\dfrac{{{\left( \sqrt{x}+2 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}-\dfrac{3\left( \sqrt{x}-2 \right)}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}-\dfrac{12}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$

$=\dfrac{x+4\sqrt{x}+4-3\sqrt{x}+6-12}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$

$=\dfrac{x+\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$

$=\dfrac{\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$

$=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}$.