Hằng đẳng thức đáng nhớ SVIP

1. HẰNG ĐẲNG THỨC

Khái niệm:

Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.

Ví dụ 1.

a) Đẳng thức $a (a + 3) = a^2 + 3a$ là hằng đẳng thức;

b) Đẳng thức $3a = 1 - a^2$ không là hằng đẳng thức vì khi ta thay $a = 1$ thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.

2. HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG

Hiệu hai bình phương

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$

Ví dụ 2.

a) $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$;

b) $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2) = x^2 - 2$.

3. BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG

Bình phương của một tổng

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

Ví dụ 3.

a) $102^2 = (100 + 2)^2 = 100^2 + 2.100.2 + 2^2 = 10\,404$;

b) $(x + 2y)^2 = x^2 + 2.x.2y + (2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$.

4. BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU

Bình phương của một hiệu

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

Ví dụ 4.

a) $199^2 = (200 - 1)^2 = 200^2 - 2.100 + 1^2 = 39\,601$;

b) $\Big( x - \dfrac12y \Big)^2 = x^2 - 2.x.\dfrac12y + \Big( \dfrac12 y \Big)^2 = x^2 - xy + \dfrac14 y^2$.

5. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG

Lập phương của một tổng

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

Ví dụ 5. Khai triển:

a) $(y + 2)^3 = y^3 + 3.y^2.2 + 3.y.2^2 + 2^3 = y^3 + 6y^2 + 12y + 8$;

b) $(3x + y)^3 = (3x)^3 + 3.(3x)^2.y + 3.3x.y^2 + y^3 = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$.

6. LẬP PHƯƠNG CỦA MỘT HIỆU

Lập phương của một hiệu

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$

Ví dụ 6.

a) Khai triển $(2x - y)^3 = (2x)^3 - 3.(2x)^2.y + 3.2x.y^2 - y^3 = 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3$.

b) Viết biểu thức $x^3-x^2+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{27}$ dưới dạng lập phương của một hiệu.

$x^3-x^2+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{27} = x^3 - 3.x^2.\dfrac{1}{3} + 3.x.\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^2 - \Big(\dfrac{1}{3}\Big)^3 = \Big(x-\dfrac13\Big)^3$.

7. TỔNG HAI LẬP PHƯƠNG

Tổng hai lập phương

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

Ví dụ 7. Viết đa thức $8x^3 + 1$ dưới dạng tích.

$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x+1)(4x^2 - 2x + 1)$.

Ví dụ 8. Rút gọn biểu thức:

$A=(x+2)(x^2-2x+4)-x^3+2 = x^3 - 8 - x^3 + 2 =-6$.

8. HIỆU HAI LẬP PHƯƠNG

Hiệu hai lập phương

Với $A$, $B$ là hai biểu thức tùy ý, ta có:

$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

Ví dụ 9. Viết đa thức $8x^3 - y^3$ dưới dạng tích.

$8x^3 - y^3 = (2x)^3 - y^3 = (2x-y)(4x^2 + 2xy + y^2)$.

Ví dụ 10. Viết đa thức sau dưới dạng tích:

$8x^3 - 27y^3 = (2x)^3 - (3y)^3 = (2x - 3y)(4x^2 + 6xy + 9y^2)$.