Hàm số SVIP

I. KHÁI NIỆM HÀM SỐ

⚡Nếu với mỗi giá trị của $x$ thuộc tập hợp số $D$ có một và chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thuộc tập số thực $\mathbb{R}$ thì ta có một hàm số.

⚡Ta gọi $x$ là biến số và $y$ là hàm số của $x$.

⚡Tập hợp $D$ gọi là tập xác định của hàm số.

⚡Tập tất cả các giá trị $y$ nhận được, gọi là tập giá trị của hàm số.

Ví dụ 1. Cho bảng sau mô tả chiều cao (cm) của cây theo thời gian (ngày):

Nếu gọi $x$ là ngày, $y$ là chiều cao thì $y$ có phải là một hàm số của $x$ không?

Lời giải

$y$ là một hàm số của $x$ vì mỗi $x$ tương ứng một $y$.

Tập xác định: $D = \{1; \,2;\, 3;\, 4;\, 5\}$

Tập giá trị: $\{10;\, 13;\, 17;\, 22;\, 28\}$.

Ví dụ 2. Viết hàm số mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian của một vật chuyền động thẳng đều với vận tốc $3$ (m/s). Tìm tập xác định của hàm số đó. Tính quãng đường vật đi được sau $2$ s, $5$ s.

Lời giải

Hàm số $S(t)=3t$, trong đó $S$ là quãng đường (m), $t$ là thời gian (s).

Tập xác định: $D=[0 ; +\infty)$

Quãng đường vật đi được sau $2$ s: $S(2)=3.2=6$ (m).

Quãng đường vật đi được sau $5$ s: $S(5)=3.5=15$ (m).

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x+1}$.

Lời giải

Hàm số có nghĩa khi $x+1 \ge 0\Leftrightarrow x \ge -1$.

Do đó tập xác định $D=[-1;+\infty)$.

Chú ý: Khi cho hàm số bằng công thức $y=f(x)$ mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta quy ước tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.

Nhận xét: Hàm số có thể cho bởi bảng, biểu đồ, công thức hoặc mô tả bằng lời.

II. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$ là tập hợp tất cả các điềm $M(x ; f(x))$ trên mặt phẳng toạ độ với mọi $x$ thuộc $D$.

Ví dụ 4. Hàm số biểu thị quãng đường của một vật đi được trong $10$ phút là $S(t)=4t$, trong đó $t$ là thời gian (phút) và $S$ là quãng đường (m). Vẽ đồ thị hàm số $S=4t$.

Lời giải

Tập xác định $D=[0;10]$.

Với $t=0$ thì $S=0$, với $t=10$ thì $S=40$. Do đó tập giá trị là $[0;40]$.

Hàm số $S=4t$ là hàm số bậc nhất nên đồ thị hàm số với tập xác định $D=[0;10]$ là một đoạn thẳng.

Ví dụ 5. Đồ thị hàm số $y=2x^2$ xác định trên $D=[0;5)$ đi qua những điểm nào dưới đây?

$A(0;1)$, $B(1;2)$, $C(-1;2)$

Lời giải

⚡Điểm $C(-1;2)$ có $-1\notin D$ nên không nằm trên đồ thị hàm số $y=2x^2$.

⚡Điểm $A(0;1)$, thay $x=0\in D$ vào công thức hàm số $y=2x^2$, ta được $y=0\ne 1$ nên điểm $A(0;1)$ không nằm trên đồ thị hàm số $y=2x^2$.

⚡Điểm $B(1;2)$ thay $x=1\in D$ vào công thức hàm số $y=2x^2$, ta được $y=2$ nên điểm $B(1;2)$ nằm trên đồ thị hàm số $y=2x^2$.

III. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

⚡Hàm số $y=f(x)$ được gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng $( a ; b)$, nếu:

$\forall x_1, x_2 \in(a ; b), x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$.

⚡Hàm số $y=f(x)$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng $( a ; b)$, nếu:

$\forall x_1, x_2 \in(a ; b), x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$.

Ví dụ 6. Xét sự biến thiên của hàm số $y=-2x+1$ trên $\mathbb{R}$ .

Lời giải

Xét hai số bất kì $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ sao cho $x_1< x_2$.

Ta có $x_1< x_2$

$\Rightarrow-2x_1>-2x_2$

$\Rightarrow-2x_1+1>-2x_2+1$

hay $f(x_1)>f(x_2)$.

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ 7. Vẽ đồ thị hàm số $y=2x^2$ và xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên mỗi khoảng $(-\infty;0)$, $(0;+\infty)$.

Lời giải

⚡Xét khoảng $(-\infty;0)$

Đồ thị "đi xuống" từ trái sang phải và với $x_2;x_1\in (-\infty;0)$, $x_2<x_1$ thì $f(x_2)>f(x_1)$.

Vậy hàm số $y=2x^2$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0)$.

⚡Xét khoảng $(0;+\infty)$

Đồ thị "đi lên" từ trái sang phải và với $x_3;x_4\in (-\infty;0)$, $x_3<x_4$ thì $f(x_3)<f(x_4)$.

Vậy hàm số $y=2x^2$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$.

Chú ý:

⚡Đồ thị của một hàm số đồng biến trên khoảng $( a; b )$ là đường "đi lên" từ trái sang phải;

⚡ Đồ thị của một hàm số nghịch biến trên khoảng $( a; b )$ là đường "đi xuống" từ trái sang phải.

Nhận xét: Khi xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số bất kì mà không nói cụ thể khoảng nào thì ta có thể hiểu là xét trên các khoảng xác định.