Cho hàm số $f(x)$ và $g(x)$ cùng liên tục trên $\mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Họ các nguyên hàm của hàm số $y=\cos 4x$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^2}$ với $x \ne 0$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[-2;3]$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_{-2}^{3} f'(x)\mathrm{d}x=8$ và $f(3)=12$. Khi đó, $f(-2)$ bằng

Nếu $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{f(x)\mathrm{d}x}=3$ thì $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}\big[ f(x)+4x^3 \big]\mathrm{d}x$ bằng

Tích phân $\displaystyle \int\limits_{\mathrm{e}}^{2024} (\mathrm{e}^x+2\,024)\mathrm{d}x$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P ):2x-3y+z-4=0$; $(Q ):5x-3y-2z-7=0$. Vị trí tương đối của $(P )$ và $(Q )$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và mặt phẳng $(\alpha):Ax+By+Cz+D=0$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng

Một ô tô đang chạy với vận tốc $10$ m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = -5t + 10$ (m/s), trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-x^2+4 x-3,\, x=0,\, x=3$ và trục $Ox$. Biết $S=\dfrac{a}{b}$, với $a, b \in N$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của biểu thức $T=a^2+b^2$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): \, 3x+(m-1 )y+4z-2=0$, $(\beta): \, nx+(m+2 )y+2z+4=0$. Với giá trị thực của $m,\,n$ bằng bao nhiêu thì $(\alpha)$ song song $(\beta)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P )$ đi qua ba điểm $A(2;0;0 ),\,B(0;1;0 ),\,C(0;0;1 )$. Khoảng cách từ điểm $M(1;3;5 )$ đến mặt phẳng $(P )$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(-1;3;4 )$ và mặt phẳng $(P ):3x-4y+z+1=0$.

Hướng tới kỉ niệm ngày thành lập trường Đoàn TNCS Hồ Chí Minh. Khối $12$ thiết kế bồn hoa gồm hai Elip bằng nhau có độ dài trục lớn bằng $8$m và độ dài trục nhỏ bằng $4$m đặt chồng lên nhau sao cho trục lớn của Elip này trùng với trục nhỏ của Elip kia và ngược lại (như hình vẽ):

Phần diện tích nằm trong đường tròn đi qua $4$ giao điểm của hai Elip dùng để trồng cỏ, phần diện tích bốn cánh hoa nằm giữa hình tròn và Elip dùng để trồng hoa.

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1(t)=4t$ m/s, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được $10$ giây thì ô tô gặp chuớng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v_2(t)$ và gia tốc là $a=-3$ m/s$^2$ cho đến khi dừng hẳn.

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $60$m, chiều rộng $20$m. Người ta muốn trồng cỏ ở hai đầu của mảnh đất và được giới hạn bởi hai đường Parabol có đỉnh cách nhau $40$m (như hình vẽ dưới):