Sau khi điều tra số lần truy cập Internet của $40$ người trong vòng $1$ tuần (đơn vị: số lần truy cập), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $[60; 70)$.

Một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm $6$ phần bằng nhau và ghi các số $1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, 6$. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa như hình vẽ dưới đây:

Xét phép thử "Quay đĩa tròn một lần". Tính xác suất của biến cố "Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho $3$".

Cho hai biểu thức $A=\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}$; $B=\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}+\dfrac{x+5}{x-1}$ với $x \ge 0, \, x \ne 1$.

a) Tính giá trị của $A$ tại $x=\dfrac14$.

b) Chứng minh rằng $B=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$.

c) Đặt $P=A.B$. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn $P\le 4$.

Để chở hết $120$ tấn hàng ủng hộ đồng bào miền trung bị lũ lụt, một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại. Lúc sắp khởi hành đội xe được bổ sung thêm $5$ xe cùng loại của các tình nguyện viên. Nhờ vậy mỗi xe phải chở ít đi $2$ tấn so với dự định. Lúc đầu đội có bao nhiêu xe, nếu khối lượng hàng của các xe phải chở là bằng nhau?

Trong tháng 7 năm 2024, hai hộ gia đình bác An và bác Bình dùng hết tổng cộng $500$ nghìn đồng tiền điện. Sang tháng 8 năm 2024, do tăng cường thực hiện việc sử dụng điện an toàn, tiết kiệm và hiệu quả; nhà bác An giảm được $15\%$ tiền điện và nhà bác Bình giảm được $10\%$ tiền điện; kết quả là cả hai hộ gia đình tiết kiệm được tổng cộng $65$ nghìn đồng tiền điện so tháng 7 năm 2024. Trong tháng 7 năm 2024, mỗi hộ gia đình dùng hết bao nhiêu đồng tiền điện?

Cho phương trình $x^2-2(m-3)x-2(m-1)=0$. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,\,x_2$ sao cho biểu thức $T=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Một người cần xây một bể nước trên sân thượng của ngôi nhà để dự trữ nước sử dụng cho sinh hoạt gia đình, khi đó có hai mẫu thiết kế để lựa chọn:

Mẫu 1: Bồn chứa nước có dạng hình hộp đáy là hình vuông, có độ dài đường chéo là $4$ mét, chiều cao $2$ mét;

Mẫu 2: Bồn chứa nước có dạng hình trụ đường kính đáy là $4$ mét, chiều cao $2$ mét.

Người đó nên chọn mẫu thiết kế nào để dự trữ nước được nhiều nhất?

Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$. Gọi $M$ là một điểm thuộc đường tròn ($M$ khác $A$ và $B$). Tiếp tuyến đi qua $M$ cắt tiếp tuyến đi qua $B$ tại điểm $K$.

a) Chứng minh tứ giác $OMKB$ nội tiếp.

b) Chứng minh $OK \perp MB$.

c) Kẻ một đường thẳng đi qua $K$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E$ và $F$ ($E$ nằm giữa $K$ và $F$), $OK$ cắt $BM$ tại $H$. Chứng minh $\widehat{EMK}=\widehat{MFE}$ và $\widehat{OFE}=\widehat{EHK}$.

Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là $8$ dm³ và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là bao nhiêu?