Cho hàm số $y = f(x), \, y = g(x)$ liên tục và xác định trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Họ nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\cos 2x$ với hằng số $C$ là

Hàm số $F(x)=\ln x+x+1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên $(0;+\infty)$?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[-2;3]$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_{-2}^{3} f'(x)\mathrm{d}x=8$ và $f(3)=12$. Khi đó, $f(-2)$ bằng

Tích phân $\displaystyle\int\limits_{1}^{2}(x+3)^2\mathrm{d}x$ bằng

Nếu các số hữu tỉ $a, \, b$ thỏa mãn $\displaystyle \int\limits_0^1 (a\mathrm{e}^x + b) \mathrm{d}x = \mathrm{e} + 2$ thì giá trị của biểu thức $a+b$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P ):2x-3y+z-4=0$; $(Q ):5x-3y-2z-7=0$. Vị trí tương đối của $(P )$ và $(Q )$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P ):\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(P )$ bằng

Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc $v\left( t \right)=t^2+10t$ $\left( m/s \right)$ với $t$ là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc $200\,\left( m/s \right)$ thì rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng dài bao nhiêu?

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đồ thị hàm số $y=f(x )$ như hình vẽ dưới đây và $\displaystyle\int\limits_{-3}^{-1}{f(x )\mathrm{d}x}=5$, $\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}{f(x )\mathrm{d}x}=-3$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x )$, trục $Ox$, đường thẳng $x=-3;x=1$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): \, 3x-ay+6z-10=0$ và $(Q): \, (b-1)x-y+2z-2\,022=0$, với $a,\,b\in \mathbb{R}$. Biết rằng mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q)$, giá trị biểu thức $T=a+b$ là

Trong không gian $Oxyz$, hai mặt phẳng $(P)$: $x+2y-2z+3=0$ và $(Q)$: $-x-2y+2z-12=0$ lần lượt chứa hai mặt bên của một hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;3;7 );\,B(4;1;3 )$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài $60$m, chiều rộng $20$m. Người ta muốn trồng cỏ ở hai đầu của mảnh đất và được giới hạn bởi hai đường Parabol có đỉnh cách nhau $40$m (như hình vẽ dưới):

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1(t)=4t$ m/s, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được $10$ giây thì ô tô gặp chuớng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v_2(t)$ và gia tốc là $a=-3$ m/s$^2$ cho đến khi dừng hẳn.

Hướng tới kỉ niệm ngày thành lập trường Đoàn TNCS Hồ Chí Minh. Khối $12$ thiết kế bồn hoa gồm hai Elip bằng nhau có độ dài trục lớn bằng $8$m và độ dài trục nhỏ bằng $4$m đặt chồng lên nhau sao cho trục lớn của Elip này trùng với trục nhỏ của Elip kia và ngược lại (như hình vẽ):

Phần diện tích nằm trong đường tròn đi qua $4$ giao điểm của hai Elip dùng để trồng cỏ, phần diện tích bốn cánh hoa nằm giữa hình tròn và Elip dùng để trồng hoa.