Nếu hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K,$ với mỗi hằng số $C.$ Xét các mệnh đề:

(i) $G(x)=F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K.$

(ii) $G(x)=C.F(x)$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K.$

(iii) $G(x)=F(x)-C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K.$

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Nguyên hàm $F(t)=\displaystyle \int tx \mathrm{d}t$, với $x$ là tham số thực là

Họ các nguyên hàm $\displaystyle \int \dfrac{1}{2x+1}\mathrm{d}x$ là

Cho hàm số $f(x )$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{f(x )\mathrm{d}x}=2$; $\displaystyle\int\limits_{1}^{3}{f(x )\mathrm{d}x}=6$. Giá trị của $I=\displaystyle\int\limits_{0}^{3}{2f(x )\mathrm{d}x}$ bằng

Diện tích hình phẳng $\left(H \right)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left(x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,x=b$ $\left(a<b \right)$ (phần gạch chéo như hình vẽ) được tính theo công thức nào?

Vecto $\overrightarrow{k}(0;0;1)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nào sau đây?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(2;1;1)$ và vuông góc với trục tung là

Gọi là các số nguyên sao cho $\displaystyle \int\limits_{0}^{2}{\sqrt{\mathrm{e}^{x+2}}\mathrm{d}x}=2a\mathrm{e}^2+b\mathrm{e}.$ Giá trị của $a^2 + b^2$ bằng

Tích phân $\displaystyle\int\limits_{a}^{b}(1+\sin x)\mathrm{d}x$ với $a\lt b$ có giá trị là

Cho hình phẳng $\left(H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-\sqrt{x}$, đường thẳng $y=-x+2$ và trục hoành.

Khối tròn xoay tạo ra khi $\left(H \right)$ quay quanh $Ox$ có thể tích $V$ được xác định bằng công thức nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, hai mặt phẳng $(P)$: $x+2y-2z+3=0$ và $(Q)$: $-x-2y+2z-12=0$ lần lượt chứa hai mặt bên của một hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là

Biết $F(x )$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x )=\sqrt{x}$ và $F(1 )=1$. Hàm số $F(x)$ là

Cho hàm số $y=f(x)>0$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(1)=\mathrm{e}^3$. Biết $f'(x)=(2x-3).f(x), \, \forall x\in \mathbb{R}$.

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-\sin x$, $y=1$, $x=a$ ($0\le a\le \pi$), $x=\pi$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;3;-1),\,B(4;1;0),\,C(4;7;3)$.

Trong hệ trục tọa độ cho các điểm $M(0;\,2;\,0 ),\,N(0;\,0;\,-1 ),\,P(-1;\,0;\,3 )$.