Bất phương trình bậc nhất hai ẩn SVIP

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ có dạng tổng quát là:

$ax+by \leq c \,(ax+by < c,\,ax+by > c,\, ax+by \geq c)$.

Trong đó:

• $a,\,b,\,c$ là những số thực đã cho.
• $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$.
• $x$ và $y$ là các ẩn số.

Ví dụ 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

a) $\dfrac{1}{7}x - 3y > 3^4$.

b) $4x - xy \geq -1$.

c) $5x+0,4y \leq 100$.

Lời giải

a) Bất phương trình $\dfrac{1}{7}x - 3y > 3^4$ là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Bất phương trình $4x - xy \geq -1$ không phải là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa $xy$\(\).

c) Bất phương trình $5x+0,4y \leq 100$ là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cặp số $(x_0;y_0)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by\leq c$ nếu bất đẳng thức $ax_0+by_0\leq c$ đúng.

Ví dụ 2. Cho bất phương trình $\sqrt{2}x+3y>5$. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình đã cho?

a) $(0;0)$; b) $(\sqrt{2};2)$; c) $(1;-1)$.

Lời giải

a) Vì $\sqrt{2}.0+3.0=0<5$ nên $(0;0)$ không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

b) Vì $\sqrt{2}.\sqrt{2}+3.2=8>5$ nên $(\sqrt{2};2)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

c) Vì $\sqrt{2}.1+3.(-1)=\sqrt{2}-3<5$ nên $(1;-1)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

a) Định nghĩa

⚡Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $ax+by\leq c$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

⚡Người ta chứng minh được rằng đường thẳng $d$ có phương trình $ax+by=c$ chia mặt phẳng tọa độ $Oxy$ thành hai nửa mặt phẳng bờ $d$:

- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ $d$) gồm các điểm có tọa độ $(x;y)$ thỏa mãn $ax+by<c$;

- Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ $d$) gồm các điểm có tọa độ $(x;y)$\(\) thỏa mãn $ax+by>c$.

Bờ $d$ gồm các điểm có tọa độ $(x;y)$ thỏa mãn $ax+by=c$\(\).

 b) Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by\leq c$.

• Vẽ đường thẳng $ax+by=c$trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.
• Lấy một điểm $M_0(x_0;y_0)$ không thuộc $d$.
• Tính $ax_0+by_0$ và so sánh với $c$.
• Nếu $ax_0+by_0<c$thì nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $M_0(x_0;y_0)$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu $ax_0+by_0>c$ thì nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa $M_0(x_0;y_0)$ là miền nghiệm của bất phương trình.

Chú ý.

⚡Miền nghiệm của bất phương trình $ax_0+by_0<c$ là miền nghiệm của bất phương trình $ax_0+by_0\leq c$ bỏ đi đường thẳng $ax+by=c$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

⚡Nếu $c \neq 0$ thì ta thường chọn $M_0$ chính là gốc tọa độ $O(0;0)$.

⚡Nếu $c=0$ thì ta thường chọn \(\)$M_0$ có tọa độ là $(1;0)$ hoặc $(0;1)$.

Ví dụ 3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $\dfrac{1}{2}x-2y<2$.

Lời giải

Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $\dfrac{1}{2}x-2y<2$ trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Vẽ đường thẳng \(\)$d: \dfrac{1}{2}x-2y<2$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$.

Thay tọa độ điểm $O(0;0)$ vào phương trình $d$ ta có $\dfrac{1}{2}.0-2.0 = 0< 2$.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $O$ (miền không tô màu) trong hình vẽ sau: