Cho $(O)$ đường kính $AB$. Kẻ đường kính $CD$ vuông góc với $AB$. Lấy $M$ thuộc cung nhỏ $BC$, $AM$ cắt $CD$ tại $E$. Qua $D$ kẻ tiếp tuyến với $(O)$ cắt đường thẳng $BM$ tại $N$. Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $DN$.

a) Chứng minh các điểm $M,\,N,\,D,\,E$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $EN$ // $CB$.

c) Chứng minh $AM.BN=2R^2$ và tìm vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ để diện tích tam giác $BNC$ đạt giá trị lớn nhất.

Cho đường tròn $(O )$ đường kính $AB=2R$. Đường thẳng $d$ vuông góc với bán kính $OB$ tại $H$. Trên nửa đường tròn $(O )$ lấy điểm $M$ thay đổi ($M\ne A,\,M\ne \,B,\,M$ không nằm trên $d$. Tia $AM$ cắt đường thẳng $d$ tại $C$. Tia $BM$ cắt đường thẳng $d$ tại $D$. Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn cắt đường thẳng $d$ ở $K$.

a) Chứng minh bốn điểm $M,\,D,\,C,\,E$cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E$. Chứng minh $B,\,E,\,C$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $KE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O )$.

d) Chứng minh $ME$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi trên đường tròn $(O )$.

Cho đường tròn $(O)$ cố định. Từ một điểm $A$ cố định ở bên ngoài đường tròn $(O)$, kẻ các tiếp tuyến $AM$ và $AN$ với đường tròn ($M;\,N$ là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $B$ và $C$ ($B$ nằm giữa $A$ và $C$). Gọi $I$ là trung điểm của dây $BC$.

a) Chứng minh rằng $AMON$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $K$ là giao điểm của $MN$ và $BC$. Chứng minh rằng $AK.AI = AB.AC$.

c) Xác định vị trí của cát tuyến $ABC$ để $IM=2IN$.

Cho đường tròn tâm $(O)$ và dây $BC$ cố định không đi qua $O$. Trên cung lớn $BC$ lấy điểm $A$ sao cho $AB\lt AC$. Kẻ đường kính $AK$, $E$ là hình chiếu của $C$ trên $AK$ và $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh bốn điểm $C,\,E,\,M,\,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ $AD\bot BC$ tại $D$. Chứng minh $AD.AK=AB.AC$ và $\Delta MDE$ cân.

c) Gọi $F$ là hình chiếu của $B$ trên $AK$. Chứng minh khi $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ thì tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta DEF$ là một điểm cố định.