Cho $(O;R)$ đường kính $AB$. Bán kính $CO$ vuông góc với $AB$, $M$ là điểm bất kì trên cung nhỏ $AC$, ($M$ khác $A$ và $C$), $MB$ cắt $AC$ tại $H$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$.

a) Chứng minh bốn điểm $C,\,B,\,H,\,K$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $CA$ là phân giác $\widehat{MCK}$.

c) Kẻ $Ax$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại $A$. Lấy $P\in Ax$ sao cho $\dfrac{AP.MB}{MA}=R$. Chứng minh $PB$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $HK$.

Cho đường tròn $(O )$ và điểm $M$ ở ngoài đường tròn. Qua $M$ kẻ các tiếp tuyến $MA$, $MB$ và cát tuyến $MPQ$ ($MP\lt MQ$). Gọi $I$ là trung điểm của dây $PQ$.

a) Chứng minh bốn điểm $B$, $O$, $I$, $M$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $BI$ và đường tròn $(O )$. Chứng minh: $\widehat{BOM}=\widehat{BEA}$ và $AE$ song song với $PQ$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O )$, các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Kẻ đường kính $AQ$ của đường tròn $(O )$ cắt cạnh $BC$ tại $I$.

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $F$, $H$, $E$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $\widehat{BAD}=\widehat{CAQ}$.

c) Gọi $P$ là giao điểm của $AH$ và $EF$. Chứng minh $\Delta AEP \sim \Delta ABI$ và $PI$ song song với $HQ$.

Cho đường tròn $(O )$ đường kính $AB=2R$. Đường thẳng $d$ vuông góc với bán kính $OB$ tại $H$. Trên nửa đường tròn $(O )$ lấy điểm $M$ thay đổi ($M\ne A,\,M\ne \,B,\,M$ không nằm trên $d$. Tia $AM$ cắt đường thẳng $d$ tại $C$. Tia $BM$ cắt đường thẳng $d$ tại $D$. Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn cắt đường thẳng $d$ ở $K$.

a) Chứng minh bốn điểm $M,\,D,\,C,\,E$cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E$. Chứng minh $B,\,E,\,C$ thẳng hàng.

c) Chứng minh $KE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O )$.

d) Chứng minh $ME$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi trên đường tròn $(O )$.

Cho đường tròn $(O )$ đường kính $AB$. Dây cung $MN$ vuông góc với $AB$, ($AM\lt BM$). Hai đường thẳng $BM$ và $NA$ cắt nhau tại $K$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $K$ đến đường thẳng $AB$.

a) Chứng minh tứ giác $AHKM$ nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng $NB.HK=AN.HB$.

c) Chứng minh $HM$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O )$.

Cho đường tròn $(O;R )$, đường kính $AB$ vuông góc với dây $CD$ tại điểm $I$ ($I$ nằm giữa $A$ và $O$). Lấy điểm $E$ bất kì trên cung nhỏ $BC$ ($E$ khác $B$ và $C$). $AE$ cắt $CD$ tại $K$.

a) Chứng minh bốn điểm $K,\,E,\,B,\,I$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $AK.AE=AI.AB$.

c) Gọi $P$ là giao điểm của tia $BE$ và tia $DC$, $Q$ là giao điểm của $AP$ và $BK$. Chứng minh $IK$ là phân giác của $\widehat{EIQ}$. Chứng minh $OQ$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQE$.

Trên nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $BC$, lấy điểm $A$ thuộc nửa đường tròn. Qua $B$ kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn $(O)$, nó cắt tia $CA$ tại $D$. Qua $D$ kẻ tiếp tuyến $DE$ với nửa đường tròn $(O)$ ($E$ là tiếp điểm). Gọi $I$ là giao điểm của $OD$ và $BE$.

a) Chứng minh rằng $B,\,I,\,A,\,D$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng $DI.DO=DA.DC$.

c) Kẻ $EH$ vuông góc với $BC$ tại $H$. $EH$ cắt $CD$ tại $G$. Chứng minh $IG$ song song với $BC.$