Cho $\Delta ABC$ $(AB\lt AC)$ nội tiếp $(O;\,R)$ đường kính $BC$, trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $D$, $BD$ cắt $AC$ tại $E$, từ $E$ vẽ $EF\bot BC$ tại $F$.

a) Chứng minh tứ giác $BAEF$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh $DB$ là phân giác góc $ADF$.

c) Gọi $M$ là trung điểm $EC$. Chứng minh $DM.CA=CF.CO$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB\lt AC)$ có đường cao $AD$ và đường phân giác trong $AO$ ($D$, $O$ thuộc cạnh $BC$). Kẻ $OM\bot AB$ tại $M$, $ON\bot AC$ tại $N$.

a) Chứng minh bốn điểm $O$, $D$, $M$, $N$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh: $\widehat{BDM}=\widehat{ODN}$.

c) Qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt $MN$ tại $I$, $AI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $K$ là trung điểm của $BC$.

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $4$ cm. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AD$, kẻ $BM$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$ ($M$ là tiếp điểm,$M\ne A$), $BM$ cắt $CD$ tại $K$.

a) Chứng minh $4$ điểm $A,\, B,\ ,M,\, O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $OB\bot OK$ và $BM.MK=\dfrac{AB^2}{4}$.

c) Đường thẳng $AM$ cắt $CD$ tại $E$. Chứng minh $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $ED$ và tính chu vi của tứ giác $ABKD$.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB\lt AC$), nội tiếp đường tròn $(O )$. Tiếp tuyến tại điểm $A$ của đường tròn $(O )$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $S$. Gọi $I$ là chân đường vuông góc kẻ từ điểm $O$ đến đường thẳng $BC$.

a) Chứng minh tứ giác $SAOI$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $H$ và $D$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm $A$ đến các đường thẳng $SO$ và $SC$. Chứng minh $\widehat{OAH}=\widehat{IAD}$.

c) Vẽ đường cao $CE$ của tam giác $ABC$. Gọi $Q$ là trung điểm của đoạn thẳng $BE$. Đường thẳng $QD$ cắt đường thẳng $AH$ tại điểm $K$. Chứng minh $BQ.BA=BD.BI$.

Cho tam giác $ABC\,\,(AB\lt AC )$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ đường kính $BC$, đường thẳng qua $O$ vuông góc với $BC$ cắt $AC$ tại $D$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $ABOD$ nội tiếp.

b) Tiếp tuyến tại điểm $A$ với đường tròn $(O )$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $P$, sao cho $PB=BO=2$ cm. Tính độ dài đoạn $PA$ và số đo góc $APC$.

c) Chứng minh rằng $\dfrac{PB}{PC}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$.

Cho đường tròn $(O)$ cố định. Từ một điểm $A$ cố định ở bên ngoài đường tròn $(O)$, kẻ các tiếp tuyến $AM$ và $AN$ với đường tròn ($M;\,N$ là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $B$ và $C$ ($B$ nằm giữa $A$ và $C$). Gọi $I$ là trung điểm của dây $BC$.

a) Chứng minh rằng $AMON$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $K$ là giao điểm của $MN$ và $BC$. Chứng minh rằng $AK.AI = AB.AC$.

c) Xác định vị trí của cát tuyến $ABC$ để $IM=2IN$.

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ đường kính $AD$. Hai đường chéo $AC,\,BD$ cắt nhau tại $E$. Từ $E$ kẻ $EF$ vuông góc với $AD$ ($F\in AD$). Đường thẳng $CF$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $M$. Giao điểm của $BD$ và $CF$ là $N$. Chứng minh:

a) $CEFD$ là tứ giác nội tiếp.

b) $FA$ là tia phân giác của $\widehat{BFM}$.

c) $BE.DN=EN.BD$.

Cho đường tròn tâm $(O)$ và dây $BC$ cố định không đi qua $O$. Trên cung lớn $BC$ lấy điểm $A$ sao cho $AB\lt AC$. Kẻ đường kính $AK$, $E$ là hình chiếu của $C$ trên $AK$ và $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh bốn điểm $C,\,E,\,M,\,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Kẻ $AD\bot BC$ tại $D$. Chứng minh $AD.AK=AB.AC$ và $\Delta MDE$ cân.

c) Gọi $F$ là hình chiếu của $B$ trên $AK$. Chứng minh khi $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ thì tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta DEF$ là một điểm cố định.