Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB\lt AC)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Hai đường cao $BE$ và $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H.$ Gọi $K$ là trung điểm $BC.$

a) Chứng minh $\Delta AEF$ đồng dạng $\Delta ABC.$

b) Chứng minh đường thẳng $OA$ vuông góc với đường thẳng $EF.$

c) Đường phân giác góc $FHB$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN,\,J$ là trung điểm của $AH.$ Chứng minh tứ giác $AFHI$ nội tiếp và ba điểm $I,\,J,\,K$ thẳng hàng.

Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn $(AB\lt AC)$. Ba đường cao $AD, \, BE, \, CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BFEC$ nội tiếp.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh $IE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

c) Vẽ $CI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M$, ($M$ khác $C$), $EF$ cắt $AD$ tại $K$. Chứng minh ba điểm $B,\,K,\,M$ thẳng hàng.

Cho đường tròn $(O;R)$ có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc tại $O$. Gọi $I$ là trung điểm của $OB$. Tia $CI$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $AE$ và $CD$.

a) Chứng minh bốn điểm $O$, $I$, $E$, $D$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: $AH.AE=2R^2$ và $OA=3. OH$.

c) Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ trên $BD$, $Q$ là giao điểm của $AD$ và $BE$. Chứng minh $Q,\,K,\,I$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$ và $D$; $BD$ cắt $CE$ tại $H$, $AH$ cắt $BC$ tại $I$. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AM$, $AN$ của đường tròn $(O)$ ($M$, $N$ là tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác $AEHD$ nội tiếp.

b) Chứng minh $AB.BE=BI.BC$, từ đó suy ra $AB.BE+AC.CD=BC^2$.

c) Chứng minh ba điểm $M$, $H$, $N$ thẳng hàng.

Từ điểm $A$ nằm ngoài $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $AB, \, AC$ với đường tròn ($B,C$ là các tiếp điểm). Kẻ đường kính $CD$ của $(O)$.

a) Chứng minh $BD$ // $AO$.

b) $AD$ cắt $(O)$ tại $E$, ($A, \, E, \, D$ theo thứ tự). Chứng minh rằng $AB^2=AE.AD$.

c) Vẽ $BH \perp DC$ tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $BH$. Chứng minh ba điểm $A,\,I,\,D$ thẳng hàng.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây $BC\lt 2R$. Trên cung lớn $BC$ lấy điểm $A$ sao cho $AB\lt AC$. Các đường cao $AD$ và $BF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $I$.

a) Chứng minh tứ giác $ABDF$ nội tiếp đường tròn và xác định tâm của đường tròn đó.

b) Chứng minh $CD.CB=CF.CA$.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDF$ cắt $(O;R)$ tại điểm $H$ ($H$ khác $C$). Vẽ đường kính $CK$ của $(O;R)$ và gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Chứng minh ba điểm $K$, $E$, $H$ thẳng hàng.

Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn và đường cao $BE$. Gọi $H,\,K$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ điểm $E$ đến $AB,\,AC.$

a) Chứng minh tứ giác $BHEK$ nội tiếp.

b) Chứng minh $BH.BA=BK.BC$.

c) Gọi $F$ là chân đường vuông góc kẻ từ điểm $C$ đến đường thẳng $AB$, $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$. Chứng minh rằng $H,\,I,\,K$ thẳng hàng.

Cho đường tròn $(O )$, dây $CD$ cố định. Gọi $B$ là điểm chính giữa cung nhỏ $CD$, kẻ đường kính $AB$ cắt $CD$ tại $I$. Lấy điểm $H$ bất kỳ trên cung lớn $CD$, $HB$ cắt $CD$ tại $E$. Đường thẳng $AH$ cắt đường thẳng $CD$ tại $P$.

a) Chứng minh tứ giác $PHIB$ nội tiếp.

b) Chứng minh $AH.AP=AI.AB$.

c) Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $AE$ và $BP$. Kẻ $KM\bot AB$ cắt $AB$ tại $M$, cắt đường tròn $(O )$ tại $N$. Chứng minh $N,\,I,\,H$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB\lt AC )$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Hai đường cao $BE$ và $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$. Gọi $K$ là trung điểm $BC.$

a) Chứng minh $\Delta AEF\sim \Delta ABC.$

b) Chứng minh đường thẳng $OA\bot EF.$

c) Đường phân giác góc $FHB$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN,\,J$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh tứ giác $AFHI$ nội tiếp và ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.