Cho phương trình $x^2-mx-8=0$. Chứng minh với mọi $m$, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1,\,x_2$ và tính giá trị của biểu thức $H=\dfrac{2x_1^2+5x_1-16}{3x_1}-\dfrac{2x_2^2+5x_2-16}{3x_2}$.

Cho phương trình $2 x^2-4 x-3=0$ có hai nghiệm $x_1, \, x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A=(x_1-x_2)^2$.

Cho phương trình $x^2+3 x-1=0$ (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,\, x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $T=\dfrac{3|x_1-x_2|}{x_1^2 x_2+x_1 x_2^2}$.

Cho phương trình $x^2-12x+4=0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_1, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $T=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}$.

Cho phương trình $x^{2}-2(m+1) x+m^{2}=0$ ( $m$ là tham số). Tìm giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1}, \,x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+6=4 x_{1} x_{2}$.

Cho phương trình $x^2 - (2m+1)x + m^2 + m = 0$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, \, x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2-5x_1x_2 = -17.$

Biết rằng phương trình bậc hai $x^2+x+m=0$ có hai nghiệm là $x_1=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ và $x_2$. Tính giá trị của biểu thức $A=2\,024x_1+2\,025x_2$.

Biết rằng phương trình bậc hai $2x^2-4x+m=0$ có một nghiệm $x=\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}$. Tính tổng nghịch đảo hai nghiệm của phương trình trên.

Cho phương trình: $2x^2-4x-3=0$ có hai nghiệm là $x_1;\,x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: $A=(x_1-x_2)^2$.

Cho phương trình $4x^2-2x-1=0$ có hai nghiệm là $x_1, \, x_2$ . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A=(x_1-x_2)^2-x_1\Big(x_1-\dfrac12\Big)$.

Cho phương trình $-\sqrt{2}x^2+2x+3=0$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1; \, x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A=\dfrac{x_2+1}{1-x_1}+\dfrac{x_1+1}{1-x_2}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, biết rằng parabol $(P)$: $y=x^2$ và đường thẳng $(d)$: $y=x-m$ có một hoành độ giao điểm là $x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$. Giả sử $x_1; \, x_2$ là các hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên. Không giải phương trình, tính giá trị $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{2\,025}{x_1+x_2-2}$.

Biết phương trình bậc hai $x^2+5x+a=0$ có một nghiệm là $x=\dfrac{-5+\sqrt{13}}{2}$, với $a$ là tham số. Tìm tổng lập phương hai nghiệm của phương trình trên.

Gọi $x_1,\,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-4x-7=0$. Tính giá trị của biểu thức $T=\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}-2$.

Cho phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ với các hệ số $a,\, b, \, c$ là số nguyên và nhận $x=\dfrac{\sqrt{5}-2}{3}$ làm nghiệm. Tính tổng lập phương hai nghiệm của phương trình đó.

Cho phương trình $3x^2-11x-15=0$ có hai nghiệm là $x_1, \, x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A=\dfrac{3x_1}{x_2}+\dfrac{3x_2}{x_1}$.

Gọi $x_1; \, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $3x^2+5x-6=0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $D =\dfrac{x_1}{x_2+2}+\dfrac{x_2}{x_1+2}$.

Cho phương trình $3x^2+5x-6=0$ có hai nghiệm $x_1;\,x_2$. Không giải phương trình, tính: $P=\dfrac{2x_2^2}{x_1+x_2}+2x_1$.

Cho phương trình: $4x^2-5x-3=0$ có hai nghiệm là $x_1,\,x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $S=x_1+x_2;$ $P=x_1x_2;$ $F=(x_1+1 )(x_2+1 )-(x_1-x_2)^2.$

Cho phương trình $x^2-4\sqrt{3}x+8=0$ có hai nghiệm $x_1;\,x_2$. Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức $Q=x_1^3+x_2^3$.