Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a,
\(pt\Leftrightarrow\left(x-1-2\sqrt{x-1}+1\right)+\left(y-2-4\sqrt{y-2}+4\right)+\left(z-3-6\sqrt{z-3}+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-3}-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}-1=0\\\sqrt{y-2}-2=0\\\sqrt{z-3}-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=12\end{cases}}\)
Lời giải:
PT tương đương:
\(x+y+z+35=4\sqrt{x+1}+6\sqrt{y+3}+8\sqrt{z+3}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(4\sqrt{x+1}=2\sqrt{4(x+1)}\leq 4+(x+1)\)
\(6\sqrt{y+2}=2\sqrt{9(y+2)}\leq 9+(y+2)\)
\(8\sqrt{z+3}=2\sqrt{16(z+3)}\leq 16+(z+3)\)
Do đó, \(\text{VP}\leq 4+x+1+9+y+2+16+z+3\)
\(\Leftrightarrow \text{VP}\leq 35+x+y+z\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} 4=x+1\\ 9=y+2\\ 16=z+3\end{matrix}\right.\) \(\leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=7\\z=13\end{matrix}\right.\)
1.
Xét riêng 2 căn lớn đầu tiên
Bình phương, thu gọn được căn(12-8 căn 2)
Giờ kết hợp kết quả này với căn lớn còn lại
Tiếp tục bình phương, thu gọn là xong
Ta có : \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{y-1}+2\sqrt{z-2}=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-1-2\sqrt{y-1}+1\right)+\left(z-2-2\sqrt{z-2}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\)
Vì \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\) , \(\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2\ge0\), \(\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2\ge0\) nên phương trình trên tương đương với
\(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{z-2}-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}}\)
Từ đó tính được : \(x^2+y^2+z^2=1^2+2^2+3^2=14\)
Ta có:
\(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\)
=\(\sqrt{x.1}+\sqrt{\left(y-1\right).1}+\sqrt{\left(z-2\right).1}\)
\(\le\frac{x+1}{2}+\frac{y-1+1}{2}+\frac{z-2+1}{2}\)
=\(\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu"=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)
Ta có:x2+y2+z2=1+22+32=14
Ta có:\(x+y+z+35=4\sqrt{x+y}+6\sqrt{y+2}+8\sqrt{z+3}\)
AD BĐT Cô si :
\(\left(x+1\right)+4\ge2\sqrt{\left(x+1\right)4}=2\sqrt{x+1}\)(1)
\(\left(y+2\right)+9\ge2\sqrt{\left(y+2\right)9}=6\sqrt{y+2}\)(2)
\(\left(z+3\right)+16\ge2\sqrt{\left(z+3\right)16}=8\sqrt{z+3}\)(3)
Cộng (1)(2)(3) với nhau ta được:
\(x+y+z+35\ge4\sqrt{x+1}+6\sqrt{y+2}+8\sqrt{z+3}\)
Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=4\\y+2=9
\\z+3=16\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=7\\z=13\end{matrix}\right.\)
x=3; y=7; z=13. mạng lác lắm mk ko giải chi tiết đc đâu, thông cảm nha