Question

[Pham Van Hung]

\(x^3+\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}=x\sqrt{2-2x^2}\)

Answer 1

[Vũ Tiến Manh]

điều kiện 1-x²>=0 <=>-1<=x<=1

Đặt a=\(\sqrt{1-x^2}\) \(\left(0\le a\le1\right)\)  =>a²+x²=1 =>(a+x)²=1+2ax ,=>ax=\(\frac{\left(a+x\right)^2-1}{2}\) (1)

Thay vào phương trình ta được x³+a³=ax\(\sqrt{2}\) <=>(a+x)(a²+x²-ax)=ax\(\sqrt{2}\) <=>(a+x)(1-ax)=ax\(\sqrt{2}\)

Thay (1) vào ta được (a+x)(1-\(\frac{\left(a+x\right)^2-1}{2}\))=\(\frac{\left(a+x\right)^2-1}{2}.\sqrt{2}\) <=>(a+x)³+\(\sqrt{2}\)(a+x)²-3(a+x)-\(\sqrt{2}\)=0

Đặt a+x=m; m²\(\le2\left(a^2+x^2\right)\)=2 <=>\(-\sqrt{2}\le m\le\sqrt{2}\)   (2)

thay vào phương trình trên ta được m³+m²\(\sqrt{2}\)-3m-\(\sqrt{2}\)=0 <=>(m-\(\sqrt{2}\))(m\(-\sqrt{2}-1\))(\(m-\sqrt{2}+1\))=0

<=>\(m=\sqrt{2};m=1-\sqrt{2};m=1+\sqrt{2}\)( loại vì không thỏa mãn (2))

*Xét m=a+x=\(\sqrt{2}\) ta có\(\hept{\begin{cases}a+x=\sqrt{2}\\a^2+x^2=1\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}a+x=\sqrt{2}\\\left(\sqrt{2}-x\right)^2+x^2=1\end{cases}}\)<=>\(x=\frac{1}{\sqrt{2}}\)(thỏa mãn x\(\in\left[-1;1\right]\)

*Xét m=a+x=1-\(\sqrt{2}\) ta có \(\hept{\begin{cases}a+x=1-\sqrt{2}\\a^2+x^2=1\end{cases}}\)<=>...  <=>  x=\(\frac{\sqrt{2\sqrt{2}-1}-1-\sqrt{2}}{2}\)

vậy pt có 2 nghiệm x1=..;x2=...