PH
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LO
1
22 tháng 7 2017
a, \(x^3+y^3+z^3=3xyz\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)( 1 )
Nhận xét : \(\left(x+y\right)^3=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2\Rightarrow x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3x^2-3xy^2\)
Thay vào ( 1 ) ta có :
\(\left(x+y\right)^3+c^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\)
\(=\left(z+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(z+y+z\right)\left(z^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2\right)-3xyz\left(z+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(z^2+x^2+y^2-xy-yz-xz\right)\)
Vì theo đầu bài ta có: \(x+y+z=0\)nên ta có ( DPCM ) ..... học cho tốt nhé!
NT
1
HP
6 tháng 7 2016
Xét \(VT=x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3-3x^2y-3xy^2+z^3-3xyz\)
\(=\left[\left(x+y\right)^3+z^3\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right).\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right).\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=VP\)
Vậy ta có đpcm
10 tháng 4 2018
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=xy;b=yz;c=zx\\A=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\end{matrix}\right.\)
\(2A=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
2A là tổng 3 số không âm => 2A không âm => A không âm
đẳng thức khi a=b=c <=> x=y=z
=> dpcm
DC
3
6 tháng 7 2016
m đăg oy hả,m cn nhớ cách làm mà cn nhi chỉ mk hk,cn cách của cn nga t thử làm oy mà hk ra
MJ
4
PT
17 tháng 7 2015
mình ko chắc nó đúng,bạn tham khảo nhé
-nếu x=y=z <=> xy+yz+zx=x2+y2+z2
<=>x2+y2+z2=xy+yz+zx 1
-nếu x2+y2+z2=xy+yz+zx <=> 2x2+2y2+2z2=2xy+2yz+2zx
<=>2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=0
<=>(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=0 (hằng đẳng thức)
=>x=y=z 2
Từ 1 và 2=>x2+y2+z2=xy+yz+zx <=>x=y=z
CV
3 tháng 6 2018
áp dụng BĐT (a - b)² ≥ 0 → a² + b² ≥ 2ab ta có:
x² + y² ≥ 2xy
x² + 1 ≥ 2x
y² + z² ≥ 2yz
y² + 1 ≥ 2y
z² + x² ≥ 2xz
z² + 1 ≥ 2z
Cộng theo vế → 3(x² + y² + z²) + 3 ≥ 2(x + y + z + xy + yz + zx) = 2.6 = 12
→ x² + y² + z² ≥ 9/3 = 3
→ đpcm (dấu = xảy ra khi x = y = z = 1)
6 tháng 5 2018
Bài 1:
Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng).
Áp dụng vào bài toán:
\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(1)
Sử dụng BĐT Cauchy, ta được:
\(x^2+1\ge2x;\)\(y^2+1\ge2y;\)\(z^2+1\ge2z\)
Cộng theo vế: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(2)
Cộng (1) với (2) theo vế: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
Thay \(x+y+z+xy+yz+zx=6\)
Suy ra: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)(đpcm).
Bài 2:
Ta có: \(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)+b^3\left(b-a\right)\)
\(=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a-b\right).\left(a^3-b^3\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(luôn đúng)
Suy ra \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)(1)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \(a^4+b^4\ge2\sqrt{a^4b^4}=2a^2b^2\)(2)
Cộng (1) với (2) theo vế, ta được:
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\)(đpcm).
\(\left(xz+yt\right)^2+\left(xt-yz\right)^2\)
\(=x^2z^2+2xzyt+y^2t^2+x^2t^2-2xtyz+y^2z^2\)
\(=x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2\)
\(=x^2\left(z^2+t^2\right)+y^2\left(z^2+t^2\right)=\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)\)