NK
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
S
16 tháng 1 2020
\(\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}=\frac{\left(x^4+y^4+z^4+t^4\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}\)
\(\ge\frac{x^3+y^3+z^3+t^3}{x^2+y^2+z^2+t^2}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x+y+z+t\right)}{\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\left(x+y+z+t\right)}\)
\(\ge\frac{x^2+y^2+z^2+t^2}{x+y+z+t}\ge\frac{\left(x+y+z+t\right)^2}{4\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=t=1/4
Bài làm có tham khảo của GOD Đạt Hồ
PN
5 tháng 7 2020
Áp dụng bđt cauchy schwarz dạng engel , ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}+\frac{1^2}{t}\ge\frac{16}{x+y+z+t}\)
\(< =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=t\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
PN
5 tháng 7 2020
cách khác :3
Áp dụng bđt phụ : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>\frac{a+b}{ab}.\left(a+b\right).ab\ge\frac{4}{a+b}.\left(a+b\right).ab\)
\(< =>\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(< =>a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(< =>\left(a-b\right)^2\ge\)(luôn đúng)
Nên ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{z+t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)
TN
13 tháng 10 2016
1)đề thiếu
2)\(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+2xy}{x-y}\)\(=\frac{\left(x-y\right)^2+2}{x-y}=x-y+\frac{2}{x-y}\)
\(x>y\Rightarrow x-y>0\).Áp dụng Bđt Côsi ta có:
\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right)\cdot\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)
Đpcm
3)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)
Đpcm
29 tháng 3 2019
Đặt cho gọn ha
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=a^2\\y=b^2\\z=c^2\end{cases}}\left(a;b;c>0\right)\)
Bài toán trở thành : Cho a;b;c > 0 và \(a^2+b^2+c^2=12\)
\(CMR:a^3+b^3+c^3\ge24\)
Dự đoán dấu "=" khi a = b = c = 2
Ta có : \(a\left(a-2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a^2-4a+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3-4a^2+4a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\ge4a^2-4a\)
Chứng minh tương tự được \(b^3\ge4b^2-4b\)
\(c^3\ge4c^2-4c\)
Cộng hết vô ta được \(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)-4\left(a+b+c\right)\)
\(=4.12+4\left(a+b+c\right)\)
\(=48-4\left(a+b+c\right)\)(1)
Ta có \(\left(a-2\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-4a+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)
C/m tương tự \(b^2+4\ge4b\)
\(c^2+4\ge4c\)
Cộng lại được \(a^2+b^2+c^2+12\ge4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow12+12\ge4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow24\ge4\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow-4\left(a+b+c\right)\ge-24\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge48-24=24\left(ĐPCM\right)\)
Vậy bài toán được c/m
2 tháng 5 2020
Áp dụng công thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y>0\right)\)
Ta có \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
(1)(2)(3) => \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
MA
26 tháng 7 2019
a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Ta được điều phải chứng minh.
18 tháng 2 2020
Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)( với x , y > 0 )
Ta có : \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
Suy ra :
\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tường tự ta có :
\(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
Chúc bạn học tốt !!!