Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo AM-GM , có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Nhân vế theo vế :
\( \left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{8}{2x^2+2y^2}\)
Mặt khác:
\(2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy=\left(x+y\right)^2\)
=>\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Ai thấy mình làm đúng thì tích nha.Ai tích mình mình tích lại
Khánh làm sai rồi
\(2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\Rightarrow\frac{8}{2x^2+2y^2}\le\frac{8}{\left(x+y\right)^2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:\(\left(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\right)\left(a+b\right)\ge\left(x+y\right)^2\). Chia hai vế cho a, b.Ta được:
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\)
...\(\Leftrightarrow\frac{x+y+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)\ge2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+x+y+2\ge2xy+2x+2y+2\)\
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng \(\forall xy\ge1\) mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
Bất đẳng thức bị ngược dấu rồi!
Ta có: \(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
Tương tự ta có: \(y+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right);z+xy=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
\(\Rightarrow\text{Σ}_{cyc}\frac{x}{x+yz}=\frac{\text{Σ}_{cyc}\left[x\left(y+z\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{2\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=2+\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\le2+\frac{2xyz}{8xyz}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bđt cauchy schwarz dạng engel , ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}+\frac{1^2}{t}\ge\frac{16}{x+y+z+t}\)
\(< =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=t\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
cách khác :3
Áp dụng bđt phụ : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>\frac{a+b}{ab}.\left(a+b\right).ab\ge\frac{4}{a+b}.\left(a+b\right).ab\)
\(< =>\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(< =>a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(< =>\left(a-b\right)^2\ge\)(luôn đúng)
Nên ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{z+t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)
xét hiệu \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y+x}{xy}-\frac{4}{x+y}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy\left(x+y\right)}=\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x^2y+xy^2}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\)
vì (x-y)2 \(\ge0\)
ta có x,y > 0 nên xy(x+y)>0
\(\Rightarrow\)\(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)hay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\)
vậy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
à mà toán này lớp 8 mà bạn