Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(P=\dfrac{\left(x^2+2xy+9y^2\right)-\left(x+3y-2\sqrt{xy}\right)2\sqrt{xy}}{x+3y-2\sqrt{xy}}\)
\(=\dfrac{\left(x^2+6xy+9y^2\right)-\left(x+3y\right)2\sqrt{xy}}{x+3y-2\sqrt{xy}}\)
\(=\dfrac{\left(x+3y\right)^2-\left(x+3y\right)2\sqrt{xy}}{x+3y-2\sqrt{xy}}\)
\(=\dfrac{\left(x+3y\right)\left(x+3y-2\sqrt{xy}\right)}{x+3y-2\sqrt{xy}}\)
\(P=x+3y\)
b) \(\dfrac{P}{\sqrt{xy}+y}=\dfrac{x+3y}{\sqrt{xy}+y}=\dfrac{\left(x+3y\right):y}{\left(\sqrt{xy}+y\right):y}=\dfrac{\dfrac{x}{y}+3}{\sqrt{\dfrac{x}{y}}+1}\)
Đặt \(t=\sqrt{\dfrac{x}{y}}>0\) và \(\dfrac{P}{\sqrt{xy}+y}=Q\) thì \(Q=\dfrac{t^2+3}{t+1}=\dfrac{\left(t-1\right)^2+2\left(t+1\right)}{t+1}=2+\dfrac{\left(t-1\right)^2}{t+1}\ge2\)
\(Q_{min}=2\Leftrightarrow t=1\Leftrightarrow x=y\)
\(S=\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\)
\(S\ge\frac{4\left(x+y\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\frac{\left(x+y\right)^2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\) khi \(x=y\)
a: Để C là số nguyên thì \(m^2-2m-m+2-5⋮m-2\)
\(\Leftrightarrow m-2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)
hay \(m\in\left\{3;1;7;-3\right\}\)
c: Để E là số nguyên thì \(m+2⋮m^2-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-1-3⋮m^2-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)
hay \(m\in\left\{\sqrt{2};-\sqrt{2};0;2;-2\right\}\)
d: Để G là số nguyên thì \(3m+2⋮m^2-1\)
\(\Leftrightarrow9m^2-4⋮m^2-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)
hay \(m\in\left\{\sqrt{2};-\sqrt{2};0;\sqrt{6};-\sqrt{6}\right\}\)
\(M=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+y^2+\dfrac{1}{y^2}+2=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\)
ta có \(x+y=1\Rightarrow x^2+y^2=1-2xy\) theo BĐT Cô si: \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow2xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow1-2xy\ge1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\)
Áp dụng tiếp BĐT Cô Si :\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\ge\dfrac{1}{2}+8+4=\dfrac{25}{2}\)
dấu = xảy ra tại \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
1)
Điều kiện: \(x\geq \frac{-1}{2}\)
Bình phương hai vế:
\(x^2+4=(2x+1)^2=4x^2+4x+1\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+4x-3=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{13}}{3}\)
Do \(x\geq -\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{-2+\sqrt{13}}{3}\) là nghiệm duy nhất của pt.
2)
a) \(x^2+x+12\sqrt{x+1}=36\) (ĐK: \(x\geq -1\) )
\(\Leftrightarrow (x^2+x-12)+12(\sqrt{x+1}-2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)(x+4)+\frac{12(x-3)}{\sqrt{x+1}+2}=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)\left[x+4+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}\right]=0\)
Do \(x\geq -1\Rightarrow x+4+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}\geq 3+\frac{12}{\sqrt{x+1}+2}>0\)
Do đó \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\) (thỏa mãn)
Vậy pt có nghiệm x=3
b) Đặt \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2+7}=a\\ x+4=b\end{matrix}\right.\)
PT tương đương:
\(x^2+7+4(x+4)-16=(x+4)\sqrt{x^2+7}\)
\(\Leftrightarrow a^2+4b-16=ab\)
\(\Leftrightarrow (a-4)(a+4)-b(a-4)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-4)(a+4-b)=0\)
+ Nếu \(a-4=0\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7}=4\Leftrightarrow x^2=9\Leftrightarrow x=\pm 3\) (thỏa mãn)
+ Nếu \(a+4-b=0\Leftrightarrow a=b-4\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x^2+7}=x\)
\(\Rightarrow x\geq 0\). Bình phương hai vế thu được: \(x^2+7=x^2\Leftrightarrow 7=0\) (vô lý)
Vậy pt có nghiệm \(x=\pm 3\)
Câu 3:
Ta có \(M=\frac{x^2+2000x+196}{x}\)
\(\Leftrightarrow M=x+2000+\frac{196}{x}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(x+\frac{196}{x}\geq 2\sqrt{196}=28\)
\(\Rightarrow M=x+\frac{196}{x}+2000\geq 28+2000=2028\)
Vậy M (min) =2028. Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{196}{x}\\ x>0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=14\)