Question

[Hạ Băng]

Với n là 1 số nguyên tố , n > 5.

cmr n⁴-1 \(⋮\) 240

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

+) n là số nguyên tố > 5

=> n có dạng 5k + 1; 5k + 2; 5k + 3; 5k + 4 

Có: ( 5k + 1)^4 và 1^4 có cùng số dư khi chia cho 5 

       ( 5k + 2 )^4 và 2^4 có cùng số dư khi chia cho 5 

       ( 5k + 3 )^4 và 3^4 có cùng số dư khi chia cho 5 

      ( 5k + 4 )^4 và 4^4 có cùng số dư khi chia cho 5 

mà 1^4 - 1; 2^4-1; 3^4-1 ; 4^4 - 1 chia hết cho 5 

=> n^4 - 1 chia hết cho 5 với n là số nguyên tố lớn hơn 5  (1)

+) n^4 - 1 = ( n^2 - 1 ) ( n^2 + 1 ) = ( n - 1 ) ( n + 1 ) (n^2 + 1 ) 

n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n  là số lẻ =>  ( n - 1) ( n + 1 ) chia hết cho 8 ; n^2 + 1 chia hết cho 2 

=> n^4 - 1 chia hết cho 16  (2) 

+) n là số nguyên tố lớn hơn 5 => n có dạng 6k + 1; 6k + 5

Nếu n = 6k + 1 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) = 6k ( n + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3

Nếu n = 6k + 5 => n^4 - 1 = ( n - 1 ) ( 6k + 6 ) ( n^2 + 1 ) = 6 ( n - 1 ) ( k + 1 ) ( n^2 + 1 ) chia hết cho 3 

Vậy n^4 - 1 chia hết cho 3 với n là số nguyên tố lớn hơn 5 (3) 

Từ (1); (2); (3) và 5; 16; 3 đôi 1 nguyên tố cùng nhau

=> n^4 - 1 chia hết cho tích 5.16.3

=> n^4 - 1 chia hết cho 240