Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(3^{n+1}-2.2^n\right)\left(3.3^n+2^{n+1}\right).3^{2n+2}+\left(8.2^{n-2}.3^{n+1}\right)^2\)
\(=\left(3^{n+1}-2^{n+1}\right)\left(3^{n+1}+2^{n+1}\right).3^{2n+2}+\left(2^{n+1}.3^{n+1}\right)^2\)
\(=\left(3^{2n+2}-2^{2n+2}\right).3^{2n+2}+2^{2n+2}.3^{2n+2}\)
\(=3^{2\left(2n+2\right)}-2^{2n+2}.3^{2n+2}+2^{2n+2}.3^{2n+2}\)
\(=3^{2\left(2n+2\right)}=\left(3^{2n+2}\right)^2\).
Ta thấy \(\left(3^{2n+2}\right)^2\)luôn là 1 số chính phương với mọi n\(\in\)N
Nên ta có ĐPCM.
b, vì a và b là 2 stn liên tiếp nên a=b+1 hoặc b=a+1
cho b=a+1
\(A=a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+a^2b^2=a^2+\left(a+1\right)^2+a^2\left(a+1\right)^2\)
\(=a^2+\left(a+1\right)^2\left(a^2+1\right)=a^2+\left(a^2+2a+1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a^2+2a\left(a^2+1\right)+\left(a^2+1\right)^2=\left(a^2+a+1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{\left(a^2+a+1\right)^2}=a^2+a+1=a\left(a+1\right)+1=ab+1\)
vì a b là 2 stn liên tiếp nên sẽ có 1 số chẵn\(\Rightarrow ab\)chẵn \(\Rightarrow ab+1\)lẻ \(\Rightarrow\sqrt{A}\)lẻ (đpcm)
Làm cả câu a đi nhé! Nếu bạn làm được cả câu a thì mình k! ^_^ *_*
a) \(P=2+2^2+2^3+...+2^{2011}+2^{2012}\)
\(P=\left(2+2^2\right)+\left(2^3+2^4\right)+...+\left(2^{2011}+2^{2012}\right)\)
\(P=\left(2+2^2\right)+2^2\left(2+2^2\right)+...+2^{2010}\left(2+2^2\right)\)
\(P=6+2^2\cdot6+...+2^{2010}\cdot6\)
\(P=6\cdot\left(1+2^2+...+2^{2010}\right)\) chia hết cho 6
=> P chia hết cho 6
b) Ta có: \(A=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\)
\(A=\left(n^4+2n^3+n^2\right)+\left(n^2+2n+1\right)\)
\(A=n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2\)
\(A=\left(n+1\right)^2\left(n^2+1\right)\)
Để A là số chính phương thì \(n^2+1\) cũng phải là số chính phương
Đặt \(n^2+1=x^2\left(x\inℤ\right)\)
\(\Rightarrow x^2-n^2=1\Leftrightarrow\left(x-n\right)\left(x+n\right)=1=1\cdot1=\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\)
\(\Rightarrow x-n=x+n\Rightarrow n=0\)
Mà n > 0 => Không tồn tại n thỏa mãn
=> A không là số chính phương
=> đpcm
Ta có :
\(4m^2+m=5n^2+n\)
\(\Leftrightarrow5m^2+m=5n^2+n+m^2\)
\(\Leftrightarrow5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)
\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m-n⋮d\\5m+5n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m^2=\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d^2\\5\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)⋮d\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m⋮d\\10m+1⋮d\end{cases}\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1}\)
Vậy \(m-n,5m+5n+1\) nguyên tố cùng nhau . Mà tích của chúng là một số chính phương nên bản thân \(m-n,5m+5n+1\) cũng là số chính phương ( đpcm)
Chúc bạn học tốt !!!
Gọi A là vế trái của bất đăng thức trên . ta sử dụng tính chất bắc cầu của bất đẳng thức dưới dạng phương pháp làm trội , để chứng minh A< b , ta làm trội A thành C ( A<C ) rồi chứng minh C>= B ( biểu thức C đóng vai trò là biểu thức trung gian để so sánh A và B)
làm trội mỗi phân số ở A bằng cách làm giảm các mẫu , ta có
\(\frac{1}{k^3}\)< \(\frac{1}{k^3-k}\)= \(\frac{1}{k\left(k^2-1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(k-1\right)k\left(k+1\right)}\)
do đó
A < \(\frac{1}{2^3-2}\)+ \(\frac{1}{3^3-3}\)+.....+\(\frac{1}{n^3-n}\)= \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+ .....+ \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
đặt C = \(\frac{1}{1.2.3}\)+ \(\frac{1}{2.3.4}\)+.....+\(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\), nhận xét rằng
\(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)- \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)= \(\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
nên C = \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{1.2}\)- \(\frac{1}{2.3}\)-......- \(\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)-\(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{2}\)[\(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)]
= \(\frac{1}{4}\)- \(\frac{1}{2n\left(n+1\right)}\)< \(\frac{1}{4}\)
vậy ta có điều phải chứng minh
a^2 + b^2 + c^2= ab + bc + ca
2 ( a^2 + b^2 + c^2 ) = 2 ( ab + bc + ca)
2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ca
a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + c^2+ c^2 – 2ab – 2bc – 2ca = 0
a^2 + b^2 – 2ab + b^2 + c^2 – 2bc + c² + a² – 2ca = 0
(a^2 + b^2 – 2ab) + (b^2 + c^2 – 2bc) + (c^2 + a^2 – 2ca) = 0
(a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0
Vì (a-b)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a và b
(b-c)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi c và b
(c-a)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi a và c
=> (a-b)^2 =0 ; (b-c)^2=0 ; (c-a)^2=0
=> a=b ; b=c ; c=a
=>a=b=c
4m2+m=5n2+n
{=}5m2+m=5n2+n+m2
{=}5(m2-n2)+(m-n)=m2
{=}(m-n)(5m+5n+1)=m2
Giả sử ngược lại \(2^n-1\) là 1 số chính phương lẻ
Khi đó \(2^n-1=\left(2k+1\right)^2\) \(\left(k\inℕ^∗\right)\)
\(\Leftrightarrow2^n-1=4k^2+4k+1\)
\(\Leftrightarrow2^n=4k^2+4k+2\)
Nhận thấy VP chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4
Mà n>1 nên 2n chia hết cho 4
=> vô lý => điều g/s sai
=> 2n - 1 không là 1 SCP