Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng tỉ dãy số bằng nhau. Ta có:
\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\Leftrightarrow\frac{1+1+1}{a+b+c}=1\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}\Leftrightarrow1-1\Leftrightarrow0\)
\(\Rightarrow PT=\frac{a-c}{c-b}=\frac{\left(a-c\right)^0}{\left(c-b\right)^0}=0\)
Vậy dấu = xảy ra khi a - c = a , c - b = b
Ta có ĐPCM
Ps: Chả biết đúng hay không nữa
như này mới đúng nè
ta có\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}.2\)
\(\Rightarrow\frac{b}{ab}+\frac{a}{ba}=\frac{2}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{b+a}{ab}=\frac{2}{c}\)
\(\Rightarrow\left(b+a\right)c=2ab\)
\(\Rightarrow cb+ca=ab+ab\)
\(\Rightarrow ca-ab=ab-cb\)
\(\Rightarrow b\left(a-c\right)=a\left(c-b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a-c}{c-b}=\frac{a}{b}\)
1.
Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\Leftrightarrow ab+ad< ad+bc\Leftrightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)
Lại có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow bc>ad\Leftrightarrow bc+cd>ad+cd\Leftrightarrow c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\Leftrightarrow\frac{c}{d}>\frac{a+c}{b+d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
2.
Ta có: a(b + n) = ab + an (1)
b(a + n) = ab + bn (2)
Trường hợp 1: nếu a < b mà n > 0 thì an < bn (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra a(b + n) < b(a + n) => \(\frac{a}{n}< \frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 2: nếu a > b mà n > 0 thì an > bn (4)
Từ (1),(2),(4) suy ra a(b + n) > b(a + n) => \(\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\)
Trường hợp 3: nếu a = b thì \(\frac{a}{b}=\frac{a+n}{b+n}=1\)
DO a,b,c đối xứng , giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge b^2\ge c^2\\\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
áp dụng bất đẳng thức trê-bư-sép ta có
\(a^2.\frac{a}{b+c}+b^2.\frac{b}{a+c}+c^2.\frac{c}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
vậy \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{2}\)dấu bằng xảy ra khi\(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
b)Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\left(đpcm\right)\)
\(a^5-a=a\left(a^4-1\right)\)
\(=a\left(a^2+1\right)\left(a^2-1\right)\)
\(=a\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
\(=a\left(a^2-4+5\right)\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)
\(=a\left(a^2-4\right)\left(a-1\right)\left(a+1\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)
\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)
Tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5 nên \(a^5-a⋮5\)
\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{1}{2}.\frac{a+b}{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{c}=\frac{a+b}{2ab}\Rightarrow2ab=\left(a+b\right).c\)
\(\Rightarrow ab+ab=ac+bc\Rightarrow ab-bc=ac-ab\)
\(\Rightarrow b\left(a-c\right)=a\left(c-b\right)\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\)
Giải
Ta có : \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}\div\frac{1}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{c}\times\frac{2}{1}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{c}=\frac{b+a}{ab}\)
\(\Leftrightarrow2ab=c\left(b+a\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+ab=bc+ac\)
\(\Leftrightarrow ac-ab=bc-ab\)
\(\Leftrightarrow a\left(c-b\right)=b\left(c-a\right)\)
Từ đẳng thức trên , ta áp dụng tính chất của tỉ lệ thức :
\(\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\)
\(C=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)
\(D< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2016.2017}\)
\(\Rightarrow D< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\)
\(\Rightarrow D< 1-\frac{1}{2017}< 1\)
Vậy C > D
sai de thi phai
ĐK:\(a+b+c\le1|a,b,c>0\)
Chỉ có TH \(a=b=c=\frac{1}{3}\)\(\Rightarrow TH:a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}+\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}+\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2.\frac{1}{3}.\frac{1}{3}}\ge9\)\(=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2+2\left(\frac{1}{3}\right)^2}3\ge9\)\(=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(2+1\right)}3\ge9\)\(=\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^2.3}3\ge9\)\(=\frac{1}{\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.3}3\ge9\)\(=\frac{1}{\frac{1}{3}}3\ge9\)\(=\frac{3}{\frac{1}{3}}\ge9\)\(=3:1:3\ge9\)\(=1\ge9\)( loại )
Vậy không thể CMR \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ba}\ge9\).