Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
Ta có: (x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy(x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy
Như thế, để tìm GTNN,GTLN của xyxy, tương đương với việc ta tìm GTLN,GTNN của A=(x−y)2=(|x−y|)2A=(x−y)2=(|x−y|)2 hay cần tìm GTLN,GTNN của |x−y||x−y|
Không mất tính tổng quát giả sử: x≥yx≥y thì: x≥101x≥101; y≤100y≤100
Khi đó: |x−y|=x−y=x+y−2y=201−2y|x−y|=x−y=x+y−2y=201−2y
Ta có: 1≤y≤1001≤y≤100 nên: 1≤|x−y|=201−2y≤1991≤|x−y|=201−2y≤199
Lập luận đi ngược lại thì tìm được các cực trị
Ta có: (x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy(x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy
Như thế, để tìm GTNN,GTLN của xyxy, tương đương với việc ta tìm GTLN,GTNN của A=(x−y)2=(|x−y|)2A=(x−y)2=(|x−y|)2 hay cần tìm GTLN,GTNN của |x−y||x−y|
Không mất tính tổng quát giả sử: x≥yx≥y thì: x≥101x≥101; y≤100y≤100
Khi đó: |x−y|=x−y=x+y−2y=201−2y|x−y|=x−y=x+y−2y=201−2y
Ta có: 1≤y≤1001≤y≤100 nên: 1≤|x−y|=201−2y≤1991≤|x−y|=201−2y≤199
Lập luận đi ngược lại thì tìm được các cực trị
dùng cô si thôi
\(a^4+b^2\ge2a^2b;b^4+c^2\ge2b^2c;c^4+a^2\ge2c^2a\)
\(a^2b^2+a^2\ge2a^2b;b^2c^2+b^2\ge2b^2c;c^2a^2+c^2\ge2c^2a\)
từ 2 cái trên =>\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge6\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\)
đặt t=a2+b2+c2\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
\(\Rightarrow\left[2\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{19}{2}\right]\left(t-3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2t^3-8t^2-3t+27\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2t^3-3t+27}{2t^2}\ge4\Rightarrow P\ge4\)
\(P=\left(5a+\frac{2}{b+c}\right)^2+\left(5b+\frac{2}{c+a}\right)^2+\left(5c+\frac{2}{a+b}\right)^2\)
\(=4\text{∑}\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+20\text{ }\text{∑}\left(\frac{a}{b+c}\right)+75\)
\(\ge2\text{∑}\frac{1}{a^2+b^2}+20\cdot\frac{3}{2}+75\)
\(\ge2\cdot\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+105=108\)
Dấu = khi a=b=c=1
Ta có \(\sqrt{8a^2+56}\)= \(\sqrt{8\left(a^2+7\right)}\)= \(\sqrt{8\left(a^2+ab+2bc+2ca\right)}\)=2. \(\sqrt{2\left(a+b\right)\left(a+2c\right)}\)
\(\le\) 2(a+b)+(a+2c) = 3a+2b+2c
tương tự \(\sqrt{8b^2+56}\)\(\le\) 2a+3b+2c
\(\sqrt{4c^2+7}\) =\(\sqrt{4c^2+ab+2ac+2bc}\)= \(\sqrt{\left(a+2c\right)\left(b+2c\right)}\)\(\le\)(a+b+4c)/2
mẫu số \(\le\)3a+2b+2c+2a+3b+2c+a/2+b/2+2c=(11a+11b+12c)/2
\(\Rightarrow\) Q\(\ge\) 2
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}ab+2bc+2ca=7\\2\left(a+b\right)=a+2c=b+2c\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}a=b=1\\c=1,5\end{cases}}\)
Vây...
Đặt a =7x , b = y, c = z. Khi đó ta có \(7xy+7yz+7zx=188\Leftrightarrow xy+yz+zx=\frac{188}{7}\)
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=245x^2+11y^2+5z^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy -Schwart dạng cộng mẫu số, ta có:
\(252x^2+18y^2+12z^2=\frac{x^2}{\frac{1}{252}}+\frac{y^2}{\frac{1}{18}}+\frac{z^2}{\frac{1}{12}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{1}{252}+\frac{1}{18}+\frac{1}{12}}=7\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow252x^2+18y^2+12z^2\ge7\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\right)\)
\(245x^2+11y^2+5z^2\ge14\left(xy+yz+zx\right)=376\)
Đến đây em làm đc r nhé ^^
Vâng ạ ! Em cảm ơn cô! ^.^