Câu hỏi của nguyễn minh

Question

Với a,b>0. Tìm gtnn của $P=\frac{a+b}{\sqrt{a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{b\left(4b+5a\right)}}$

bảo nam trần · Accepted Answer

Áp dụng bđt bunhicopxki ta có:

$\left(\sqrt{a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{b\left(4b+5a\right)}\right)^2\le\left(a+b\right)\left(4a+5b+4b+5a\right)=9\left(a+b\right)^2$

=> $\sqrt{a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{b\left(4b+5a\right)}\le3\left(a+b\right)$

=>$P\ge\frac{a+b}{3\left(a+b\right)}=\frac{1}{3}$

dấu "=" xảy ra khi a=b

Câu trả lời:

Áp dụng bđt bunhicopxki ta có:

$\left(\sqrt{a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{b\left(4b+5a\right)}\right)^2\le\left(a+b\right)\left(4a+5b+4b+5a\right)=9\left(a+b\right)^2$

=> $\sqrt{a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{b\left(4b+5a\right)}\le3\left(a+b\right)$

=>$P\ge\frac{a+b}{3\left(a+b\right)}=\frac{1}{3}$

dấu "=" xảy ra khi a=b