Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left|z\right|=\sqrt{\left(1+\cos a\right)^2+\sin^2a}=\sqrt{2\left(1+\cos a\right)}=\sqrt{4\cos^2\frac{a}{2}}=2\left|\cos\frac{a}{2}\right|\)
a) Nếu \(a\in\left(0,\pi\right)\Rightarrow\frac{a}{2}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\), P nằm góc phần tư thứ nhất.
Do đó
\(\theta=arctan\frac{\sin a}{1+\cos a}=arctan\left(tan\frac{a}{2}\right)=\frac{a}{2}\)
\(z=2\cos\frac{a}{2}\left(\cos\frac{a}{2}+i\sin\frac{a}{2}\right)\)
b)
Nếu \(a\in\left(\pi,2\pi\right)\Rightarrow\frac{a}{2}\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\), P nằm góc phần tư thứ tư.
Do đó
\(\theta=arctan\left(tan\frac{a}{2}\right)+2\pi=\frac{a}{2}-\pi+2\pi=\frac{a}{2}+\pi\)
\(z=-2\cos\frac{a}{2}\left[\cos\left(\frac{a}{2}+\pi\right)+i\sin\left(\frac{a}{2}+\pi\right)\right]\)
c) Nếu \(a=\pi\) thì \(z=0\)
O M3 M2 M1 P3 P2 P1 A
Gọi \(P_1,P_2\) là giao điểm của đường tròn (0.1) với tia OM1 và OM2
Dựng P3 thuộc đường tròn và có argument cực \(\theta_1,\theta_2\) Chọn M3 thuộc tia OP3, OM3 =OM1.OM2
Gọi z3 là tọa độ phức của M3. Điểm M3(\(r_1r_2;\theta_1+\theta_2\) biểu diễn tích z1z2
Gọi A là điểm biểu diễn của z=1
\(\frac{OM_3}{OM_1}=\frac{OM_2}{1}\Rightarrow\frac{OM_3}{OM_2}=\frac{OM_2}{OA};\widehat{M_2OM_3}=\widehat{AOM_1}\)
Suy ra 2 tam giác OAM1 và OM2M3 đồng dạng
7.
Thể tích:
\(V=\pi\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0sin^2xdx=\frac{\pi}{2}\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_0\left(1-cos2x\right)dx=\frac{\pi}{2}\left(x-\frac{1}{2}sin2x\right)|^{\frac{\pi}{2}}_0=\frac{\pi^2}{4}\)
8.
\(z=\frac{z-17i}{5-i}\Leftrightarrow\left(5-i\right)z=z-17i\)
\(\Leftrightarrow z\left(i-4\right)=17i\Rightarrow z=\frac{17i}{i-4}=1-4i\)
Rốt cuộc câu này hỏi modun hay phần thực vậy ta?
Phần thực bằng 1
Môđun \(\left|z\right|=\sqrt{17}\)
9.
\(\left(1-3i\right)z=8+6i\Rightarrow z=\frac{8+6i}{1-3i}=-1+3i\)
\(\Rightarrow\left|z\right|=\sqrt{\left(-1\right)^2+3^2}=\sqrt{10}\)
10.
\(\left(1+i\right)^2\left(2-i\right)z=8+i+\left(1+2i\right)z\)
\(\Leftrightarrow2i\left(2-i\right)z-\left(1+2i\right)z=8+i\)
\(\Leftrightarrow\left(4i+2-1-2i\right)z=8+i\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{8+i}{2i+1}=2-3i\)
Phần thực \(a=2\)
11.
Điểm biểu diễn số phức là điểm có tọa độ \(\left(-1;-2\right)\)
4.
\(I=\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{sin^2x}=-cotx|^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}=1\)
5.
\(I=\int\limits^a_2\frac{2x-1}{1-x}dx=\int\limits^a_2\left(-2-\frac{1}{x-1}\right)dx=\left(-2x-ln\left|x-1\right|\right)|^a_2=-2a-ln\left|a-1\right|+4\)
\(\Rightarrow-2a+4-ln\left|a-1\right|=-4-ln3\Rightarrow a=4\)
6.
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^3=x^5\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)
Diện tích hình phẳng:
\(S=\int\limits^0_{-1}\left(x^5-x^3\right)dx+\int\limits^1_0\left(x^3-x^5\right)dx=\frac{1}{6}\)
\(\int\frac{1+sin2x+cos2x}{sinx+cosx}dx\)
\(=\int\frac{sin^2x+cos^2x+2sinxcosx+cos^2x-sin^2x}{sinx+cosx}dx\)
\(=\int\frac{\left(sinx+cosx\right)^2+\left(cosx-sinx\right)\left(cosx+sinx\right)}{sinx+cosx}dx\)
\(=\int\left(sinx+cosx+cosx-sinx\right)dx=\int2cosxdx=2sinx\)
a1sinx+b1cosx=A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx-b2sinx) roi the vo ,do la dung dong nhat thuc
Câu 1:
Gọi \(A\left(1;-1\right)\) và \(B\left(2;3\right)\Rightarrow\) tập hợp \(z\) thoả mãn điều kiện đề bài là đường trung trực d của đoạn AB, ta dễ dàng viết được phương trình d có dạng \(4x-y-5=0\)
Gọi \(M\left(-2;-1\right)\) và \(N\left(3;-2\right)\) và \(I\left(a;b\right)\) là điểm bất kì biểu diễn \(z\Rightarrow I\in d\) \(\Rightarrow P=IM+IN\). Bài toán trở thành dạng cực trị hình học phẳng quen thuộc: cho đường thẳng d và 2 điểm M, N cố định, tìm I thuộc d để \(P=IM+IN\) đạt GTNN
Thay toạ độ M, N vào pt d ta được 2 giá trị trái dấu \(\Rightarrow M;N\) nằm về 2 phía so với d
Gọi \(C\) là điểm đối xứng M qua d \(\Rightarrow IM+IN=IC+IN\), mà \(IC+IN\ge CN\Rightarrow P_{min}=CN\) khi I, C, N thẳng hàng
Phương trình đường thẳng d' qua M và vuông góc d có dạng:
\(1\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow x+4y+6=0\)
Gọi D là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4y+6=0\\4x-y-5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(\frac{14}{17};-\frac{29}{17}\right)\)
\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(-2;-1\right)\Rightarrow P_{min}=CN=\sqrt{\left(3+2\right)^2+\left(-2+1\right)^2}=\sqrt{26}\)
Bài 2:
Tập hợp \(z\) là các điểm M thuộc đường tròn (C) tâm \(I\left(0;1\right)\) bán kính \(R=\sqrt{2}\) có phương trình \(x^2+\left(y-1\right)^2=2\)
\(\Rightarrow\left|z\right|=OM\Rightarrow\left|z\right|_{max}\) khi và chỉ khi \(M;I;O\) thẳng hàng và M, O nằm về hai phía so với I
\(\Rightarrow M\) là giao điểm của (C) với Oy \(\Rightarrow M\left(0;1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow\) phần ảo của z là \(b=1+\sqrt{2}\)
Câu 3:
\(\overline{z}=\left(i+\sqrt{2}\right)^2\left(1-\sqrt{2}i\right)=5+\sqrt{2}i\)
\(\Rightarrow z=5-\sqrt{2}i\Rightarrow b=-\sqrt{2}\)
Câu 4
\(z.z'=\left(m+3i\right)\left(2-\left(m+1\right)i\right)=2m-\left(m^2+m\right)i+6i+3m+3\)
\(=5m+3-\left(m^2+m-6\right)i\)
Để \(z.z'\) là số thực \(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)
Câu 5:
\(A\left(-4;0\right);B\left(0;4\right);M\left(x;3\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(4;4\right)\\\overrightarrow{AM}=\left(x+4;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A,B,M\) khi và chỉ khi \(\frac{x+4}{4}=\frac{3}{4}\Rightarrow x=-1\)
Câu 6:
\(z=3z_1-2z_2=3\left(1+2i\right)-2\left(2-3i\right)=-1+12i\)
\(\Rightarrow b=12\)
Câu 7:
\(w=\left(1-i\right)^2z\)
Lấy môđun 2 vế:
\(\left|w\right|=\left|\left(1-i\right)^2\right|.\left|z\right|=2m\)
Câu 8:
\(3=\left|z-1+3i\right|=\left|z-1-i+4i\right|\ge\left|\left|z-1-i\right|-\left|4i\right|\right|=\left|\left|z-1-i\right|-4\right|\)
\(\Rightarrow\left|z-1-i\right|\ge-3+4=1\)
Lời giải:
Trên mp tọa độ \(Oxy\) ta xét các điểm \(A(-2,1);B(4,7);C(1,-1)\). Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là $M$
Theo bài ra ta có:
\(|z-(-2+i)|+|z-(4+7i)|=6\sqrt{2}\Leftrightarrow MA+MB=6\sqrt{2}\)
Mà \(AB=\sqrt{(-2-4)^2+(1-7)^2}=6\sqrt{2}\Rightarrow MA+MB=AB\)
Do đó điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng $AB$
Đề bài yêu cầu tìm max min của \(|z-(1-i)|\), tức là tìm max, min của đoạn \(MC\)
Dựa vào hình vẽ, suy ra \(MC_{\min}=d(C,AB)\).
Do biết tọa độ $A,B$ nên dễ dàng viết được PTĐT $AB$ là : \(y=x+3\)
\(\Rightarrow MC_{\min}=d(C,AB)=\frac{|1-(-1)+3|}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)
Vì \(M\) chỉ chạy trên đoạn $AB$ nên \(MC_{\max}=CA\) hoặc $CB$
Thấy \(CA< CB\Rightarrow CM_{\max}=CB=\sqrt{(4-1)^2+(7+1)^2}=\sqrt{73}\) khi \(M\equiv B\)
Vậy \(\left\{\begin{matrix} |z-1+i|_{\min}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\\ |z-i+1|=\sqrt{73}\end{matrix}\right.\)
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi
\(a_1\sin x+b_1\cos x+c_1=A\left(a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right)+B\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)+C\)
Bước 2 : Khi đó :
\(I=\int\frac{A\left(a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right)+B\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)+C}{_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
\(=A\int dx+B\int\frac{\left(a_2\cos_{ }x-b_2\sin x_{ }\right)dx}{_{ }a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
\(=Ax+B\ln\left|a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right|+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
Trong đó :
\(\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
1) Chọn B
\(\left(z+i\right)^2+3\left(z^2+3zi+2i^2\right)+2\left(z^2+4zi+4i^2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(z+i\right)^2+3\left(z+i\right)\left(z+2i\right)+2\left(z+2i\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(2z+3i\right)\left(3z+5i\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}z_1=-3i:2\\z_2=-5i:3\end{matrix}\right.\)
Vậy \(2z_1+3z_2=2\left(\frac{-3i}{2}\right)+3\left(\frac{-5i}{3}\right)=-8i\)
2) Chọn D
\(\Delta=\left(4-i\right)^2-4\left(5+i\right)=-5-12i\)
Ta có: \(\Delta=\left(2-3i\right)^2\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\pm\left(2-3i\right)\)
Nghiệm của pt là:
\(z=\frac{4-i\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{4-i\pm\left(2-3i\right)}{2} \)
\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}z=3-2i\\z=1+i\end{matrix}\right.\)
Vì \(\left|z_1\right|< \left|z_2\right|\Rightarrow\left\{\begin{matrix}z_1=1+i\\z_2=3-2i\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left|z_1-2z_2\right|=\left|i+1-6+4i\right|=5\sqrt{2}\)
Chọn A.