Question

[Lil Học Giỏi]

Tu giac ABCD co M la trung diem AD , N la trung diem BC . Chung minh : MN ≤ \(\dfrac{1}{2}( AB + CD )\)

Answer 1

[Vũ Minh Tuấn]

Hình bạn tự vẽ nha!

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC.\)

+) Xét \(\Delta ADC\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}MA=MD\left(gt\right)\\HA=HC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(MH\) là đường trung bình của \(\Delta ADC.\)

=> \(MH=\frac{1}{2}DC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

+) Xét \(\Delta ABC\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}HA=HC\left(gt\right)\\NB=NC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(HN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)

=> \(HN=\frac{1}{2}AB\) (như ở trên)

+) Xét \(\Delta MNH\) có:

\(MN\le MH+HN\) (theo bất đẳng thức trong tam giác)

=> \(MN\le\frac{1}{2}DC+\frac{1}{2}AB\) (theo câu a)

=> \(MN\le\frac{1}{2}.\left(DC+AB\right)\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!