Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
=>OA vuông góc với BC
=>OH*OA=OB^2=R^2
b: góc ABM=góc ACM
góc HBM=90 độ-góc OMB=90 độ-góc OBM=góc ABM
=>BM là phân giác của góc ABH
a) Vì AB,AC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB\perp OB\\AC\perp OC\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\widehat{ABO}=90^0\\\widehat{ACO}=90^0\end{cases}}\)
Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)
Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác ABOC
\(\Rightarrow ABOC\)nội tiếp ( dhnb )
b) Xét (O) có AB là tiếp tuyến tại B ; MB là dây cung
\(\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{MB}\right)\)
Xét tam giác ABM và tam giác ANB có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{BAN}chung\\\widehat{ABM}=\widehat{ANB}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta ABM~\Delta ANB\left(g-g\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}=\frac{AN}{AB}\Rightarrow AB^2=AM.AN\left(1\right)\)
c) Gọi H là giao điểm của BC và AO
Xét tam giác ABH và tam giác AOB có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{BAO}chung\\\widehat{AHB}=\widehat{ABO}=90^0\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABH~\Delta AOB\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AH}=\frac{AO}{AB}\Rightarrow AB^2=AO.AH\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM.AN=AH.AO\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AH}=\frac{AO}{AN}\)
Xét tam giác AMH và tam giác AON có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{NAO}chung\\\frac{AM}{AH}=\frac{AO}{AN}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta AMH~\Delta AON\left(c-g-c\right)}\)
\(\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{ANO}\)
Mà \(\widehat{AHM}+\widehat{MHO}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{ANO}+\widehat{MHO}=180^0\)
Xét tứ giác MHON có
\(\widehat{ANO}+\widehat{MHO}=180^0\)mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác MHON
\(\Rightarrow MHON\)nội tiếp ( dhnb )
\(\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{NHO}\left(3\right)\)
Vì H là giao điểm của BC và AO ( h.vẽ )
Mà \(AB,AC\)là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow BC\perp OA\)
\(\Rightarrow\widehat{BHO}=90^0\)
Vì NF là tiếp tuyến của (O) tại N
\(\Rightarrow\widehat{ÒNF}=90^0\)
Xét tứ giác FHON có:\(\widehat{FHO}+\widehat{FNO}=180^0\)mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác FHON
=> FHON nội tiếp ( dhnb )
\(\Rightarrow\widehat{NHO}=\widehat{NFO}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{NMO}=\widehat{NFO}\)
\(\Rightarrow FMON\)nội tiếp (dhnb)
\(\Rightarrow\widehat{FMO}+\widehat{FNO}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{FMO}=90^0\)
\(\Rightarrow FM\perp OM\)
\(\Rightarrow FM\)là tiếp tuyến của (O)
d) Vì E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MNO
\(\Rightarrow E\)thuộc đường tròn đường kính OF
\(\Rightarrow\widehat{OEF}=90^0\)
+) Vì E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC hay E thuộc đường tròn đường kính AO
\(\Rightarrow\widehat{AEO}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{OEF}+\widehat{AEO}=180^0\)
\(\Rightarrow A,E,F\)thẳng hàng
Lại có vì góc AEO= 90 độ \(\Rightarrow OE\perp AF\left(5\right)\)
Gọi K là trung điểm của MN
\(\Rightarrow OF\perp MN\)
\(\Rightarrow AK\perp OF\)
Xét tam giác AOF có: \(\hept{\begin{cases}AK\perp OF\\FH\perp AO\end{cases}}\)mà AK cắt FH tại P
=> P là trực tâm của tam giác AOF
\(\Rightarrow OP\perp AF\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) \(\Rightarrow O,E,P\)thẳng hàng ( đpcm )
O A B C H D I K E F
b) Ta thấy (O) giao (I) tại 2 điểm B và D => BD vuông góc OI (tại K) => ^OKB=900.
Xét đường tròn (I) đường kính AB có H thuộc cung AB => AH vuông góc HB hay AH vuông góc BC (1)
AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O) => \(\Delta\)ABC cân tại A. Mà AO là phân giác ^BAC
=> AO vuông góc BC (2)
Từ (1) và (2) => A;H;O thẳng hàng => ^OHB=900.
Xét tứ giác BOHK: ^OKB=^OHB=900 => Tứ giác BOHK nội tiếp đường tròn đường kính OB
=> ^OKH = ^OBH. Lại có ^OBH=^OAB (Cùng phụ ^HBA) => ^OKH = ^OAB
Hay ^OKH = ^HAI. Mà ^OKH + ^KHI = 1800 nên ^HAI + ^KHI = 1800
=> Tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Dễ thấy OI là trung trực của BD và OI cắt BD tại K => K là trung điểm của BD
\(\Delta\)ABC cân đỉnh A có đường phân giác AH => H là trung điểm BC
Từ đó suy ra HK là đường trung bình của \(\Delta\)BDC
=> HK//CD => ^HKD + ^CDK = 1800 (3). Đồng thời \(\frac{HK}{CD}=\frac{1}{2}\)
Tương tự KI là đường trg bình của \(\Delta\)BAD => KI//AD => ^DKI + ^ADK = 1800 (4) Và \(\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)
Cộng (3) với (4) => ^KHD + ^KDI + ^CDK + ^ ADK = 3600
<=> ^HKI = 3600 - (^CDK + ^ADK) => ^HKI = ^CDA.
Xét \(\Delta\)HKI và \(\Delta\)CDA: ^HKI=^CDA; \(\frac{HK}{CD}=\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)=> \(\Delta\)HKI ~ \(\Delta\)CDA (c.g.c)
=> ^HIK = ^CAD. Mặt khác: ^CAD = ^DBE (Cùng chắn cung DE) => ^HIK=^DBE.
Mà tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn => ^HIK=^HAK = >^DBE=^HAK hay ^KBF=^FAK
=> Tứ giác BKFA nội tiếp đường tròn => Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm K (đpcm).