Question

[Ko cần bít]

Từ 1 điểm S nằm ngoài đường tròn ( O ) kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyết SBC sao cho góc BAC < 90 độ. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D và cắt đường tròn ( O ) tại điểm thứ hai là E. Các tiếp tuyến của đường tròn tại C và E cắt nhau tại N. Gọi Q, P theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CE, AE và CN. CMR:

\(\frac{1}{CN}=\frac{1}{CD}+\frac{1}{CP}\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

A B C O D E N P

Xét đường tròn (O) có 2 tiếp tuyến NE, NC (E và C là tiếp điểm) => EN = CN (T/c 2 tiếp tuyến giao nhau)

Ta thấy: ^BAC nội tiếp (O), phân giác ^BAC cắt (O) tại điểm thứ hai E => E là điểm chính giữa cung nhỏ BC

=> OE vuông góc với BC. Mà EN vuông góc OE nên EN // BC. Áp dụng ĐL Thales có:

\(\frac{CN}{CD}=\frac{EN}{CD}=\frac{PN}{CP}\)=> \(\frac{CN}{CD}+\frac{CN}{CP}=\frac{PN+CN}{CP}=1\)=> \(\frac{1}{CN}=\frac{1}{CD}+\frac{1}{CP}\)(đpcm).