Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: = (1; 7);
= (1; 7)
=
=> ABCD là hình bình hành (1)
ta lại có : AB2 = 50 => AB = 5 √2
AD2 = 50 => AD = 5 √2
AB = AD, kết hợp với (1) => ABCD là hình thoi (2)
Mặt khác = (1; 7);
= (-7; 1)
1.7 + (-7).1 = 0 => ⊥
(3)
Kết hợp (2) và (3) suy ra ABCD là hình vuông
Muốn chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp ta cần chứng minh: \(\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^o\)\(\Leftrightarrow\)
A B C D
\(\overrightarrow{BA}\left(-1;3\right);\overrightarrow{BC}\left(-2;-4\right)\)
\(cos\widehat{ABC}=cos\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)\)\(=\dfrac{\left(-1\right).\left(-2\right)+3.\left(-4\right)}{\sqrt{\left(-1\right)^2+3^2}.\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-4\right)^2}}=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\).
Suy ra \(\overrightarrow{ABC}=135^o\).
\(\overrightarrow{DA}\left(4;-2\right);\overrightarrow{DC}\left(3;-9\right)\)
\(cos\widehat{ADC}=\left(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DC}\right)=\dfrac{4.3+\left(-2\right).\left(-9\right)}{\sqrt{4^2+2^2}.\sqrt{\left(3\right)^2+\left(-3\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Suy ra \(\widehat{ADC}=45^o\)
Vậy \(\widehat{ADC}+\widehat{ABC}=135^o+45^o=180^o\).
Vì vậy tứ giác ABCD nội tiếp.
\(\overrightarrow{AB}\left(2;2\right);\overrightarrow{AC}\left(2;-2\right)\)
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2.2+2.\left(-2\right)=0\) nên \(AB\perp AC\). (1)
\(AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\).
\(AC=\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{2}\)
Vì vậy AB = AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tam giác ABC vuông cân tại A.
a) \(\overrightarrow{BA}\left(4;2\right);\overrightarrow{BC}\left(3;-1\right)\).
Vì \(\dfrac{4}{3}\ne\dfrac{2}{-1}\) nên hai véc tơ \(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\) không cùng phương hay 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) \(cos\widehat{ABC}=cos\left(\overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC}\right)=\dfrac{4.3+2.\left(-1\right)}{\sqrt{4^2+2^2}.\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}\)\(=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Suy ra: \(\widehat{ABC}=45^o\).
a)Gọi \(D\left(x;y\right)\) là tọa độ điểm cần tìm.
\(\overrightarrow{AD}\left(x-2;y-4\right)\); \(\overrightarrow{BC}\left(2;-4\right)\).
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:
\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=2\\y-4=-4\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow D\left(4;0\right)\).
b) Gọi\(A'\left(x;y\right)\) là điểm cần tìm. A' thỏa mãn hai điều sau:
- \(AA'\perp BC\). (1)
- A' , B, C thẳng hàng. (2)
\(\overrightarrow{AA'}\left(x-2;y-4\right)\); \(\overrightarrow{BC}\left(2;-4\right)\).
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\)\(\Leftrightarrow2\left(x-2\right)-4\left(y-4\right)=0\) (3)
(2) suy ra hai véc tơ \(\overrightarrow{A'B}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cùng phương.
Có \(\overrightarrow{A'B}\left(1-x;3-y\right)\).
Nên \(\dfrac{1-x}{2}=\dfrac{3-y}{4}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.\).
Vậy A'(1;3).
AC đi qua A(1;2) và có VTPT nAC = vec-tơ BH = ( 1;2)
=> AC: 1(x-1) + 2(y-2)=0 <=> x+2y -5=0
BC đi qua B(-3;1) và có VTPT nBC = vec-tơ AH = (-3;1)
=>BC : -3(x+3) + (y-1)=0 <=> -3x + y -10 =0
C là giao điểm của AC và BC nên là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-5=0\\-3x+y-10=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{15}{7}\\y=\dfrac{25}{7}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(C\left(-\dfrac{15}{7};\dfrac{25}{7}\right)\)
Muốn chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân ta cần chứng minh hai điều:
- AB//CD.
- AD = BC.
\(\overrightarrow{AB}\left(1;1\right);\overrightarrow{DC}\left(-3;-3\right)\)
Dễ thấy \(\overrightarrow{DC}=-3\overrightarrow{AB}\) nên hai véc tơ \(\overrightarrow{DC}\) và \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương.
Suy ra DC//AB. (1)
\(AD=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(-2-1\right)^2}=\sqrt{10}\).
\(BC=\sqrt{\left(3-0\right)^2+\left(1-2\right)^2}=\sqrt{10}\).
Vậy AD = BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân.