Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Chọn điểm $I$ sao cho \(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=0\)
\(\Leftrightarrow (1-x_I, 2-y_I, 1-z_I)-2(2-x_I, -1-y_I, 3-z_I)=0\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1-x_I-2(2-x_I)=0\\ 2-y_I-2(-1-y_I)=0\\ 1-z_I-2(3-z_I)=0\end{matrix}\right.\Rightarrow I(3,-4, 5)\)
Có:
\(MA^2-2MB^2=(\overrightarrow {MI}+\overrightarrow{IA})^2-2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2\)
\(=-MI^2+IA^2-2IB^2+2\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB})\)
\(=-MI^2+IA^2-2IB^2\)
Do đó để \(MA^2-2MB^2\) max thì \(MI^2\) min. Do đó $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ xuống mặt phẳng $Oxy$
Gọi d là đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với (Oxy)
Khi đó: \(d:\left\{\begin{matrix} x=3\\ y=-4\\ z=5+t\end{matrix}\right.\)
$M$ thuộc d và $(Oxy)$ thì ta có thể suy ra ngay đáp án D
Phương trình dạng tham số của d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2t\\y=1-t\\z=2t\end{matrix}\right.\)
Do \(M\in d\) nên tọa độ thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a=-1+2t\\b=1-t\\z=2t\end{matrix}\right.\)
\(A=\left(a+1\right)^2+b^2+c^2=\left(-1+2t+1\right)^2+\left(1-t\right)^2+4t^2\)
\(=9t^2-2t+1=9\left(t-\frac{1}{9}\right)^2+\frac{8}{9}\ge\frac{1}{9}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(t=\frac{1}{9}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{7}{9}\\b=\frac{8}{9}\\c=\frac{2}{9}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow T=0\)
Lời giải:
Vì mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên độ dài bán kính chính bằng khoảng cách từ tâm đến đường thẳng đó
Ta thấy đường thẳng $(d)$ đi qua \(M(-1,2,-3)\) và có vector chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(2,1,-1)\)
\(\Rightarrow d(A,d)=\frac{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{MA}]|}{|\overrightarrow{u}|}=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=5\sqrt{2}=R\rightarrow R^2=50\)
Do đó PTMC là: \((x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=50\)
Đáp án C
Lời giải:
Gọi \(I(a,b,c)\) là một điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\)
\(\Rightarrow (3-a,-1-b,2-c)+(1-a,-5-b,-c)=0\Rightarrow I(2,-3,1)\)
Lại có:
\(P=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=MI^2+\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{IA}\)
\(\Leftrightarrow P=MI^2-6\)
Để \(P_{\min}\Leftrightarrow MI_{\min}\), điều đó đồng nghĩa với việc \(M\) là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(P)$
Gọi \(M(a,b,c)\Rightarrow \overrightarrow{IM}=(a-2,b+3,c-1)=k(2,-1,2)\)
\(\Rightarrow \frac{a-2}{2}=\frac{b+3}{-1}=\frac{c-1}{2}\)
Mặt khác, \(2a-b+2c+9=0\) nên \(a=-2,b=-1,c=-3\)
Vậy \(M(-2,-1,-3)\)
Thay toạ độ A; B vào (P) thấy ra kết quả cùng dấu, vậy A và B nằm cùng phía so với (P)
Gọi C là điểm đối xứng A qua (P) thì MA+MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M trùng giao điểm của BC và (P)
Phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc (P): \(\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=2t\\z=3+2t\end{matrix}\right.\)
Giao điểm D của d và (P) là nghiệm:
\(2+t+2\left(2t\right)+2\left(3+2t\right)+1=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow D\left(1;-2;1\right)\)
\(\overrightarrow{AD}=\left(-1;-2;-2\right)\) mà \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left(0;-4;-1\right)\)
\(\overrightarrow{CB}=\left(3;3;6\right)\Rightarrow\overrightarrow{u_{BC}}=\left(1;1;2\right)\Rightarrow\) pt BC: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=-1+t\\z=5+2t\end{matrix}\right.\)
Toạ độ M là nghiệm:
\(3+t+2\left(1-t\right)+2\left(5+2t\right)+1=0\Rightarrow t=-\frac{12}{7}\Rightarrow M\left(\frac{9}{7};-\frac{19}{7};\frac{11}{7}\right)\)
\(\Rightarrow T=\frac{563}{49}\)