Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Số chia hết cho 5 mà không chia hết cho 2 là số có chữ số tận cùng là 5.
⇒ Trong các số trên thì số chia hết cho 5 mà không chia hết cho 2 là 435.
Số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 2, 4, 6, 8.
⇒ Trong các số trên thì số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5 là 156.
a, số chia hết cho 2 mà k chia hết cho 5 là: 234
b, số chia hết cho 5 mà k chia hết cho 2 là: 1345
c, số chia hết cho 2 và 5 là 4620
a, Số chia hết cho 2 mà ko chia hết cho 5 là : 156
b, Số chia hết cho 5 mà k chia hết cho 2: 435
c, Số chia hết cho cả 2 và 5: 680
Trong các số 214; 435; 680; 156
a, Số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5 là: 156
b, số chia hết cho 5 mà không chia hết cho 2 là: 435
c, Số chia hết cho cả 2 và 5 là: 680
a) chia 2&5=> b=0; chia 3=> 4+a+1+2+0 =7+a chia het cho 3=> a={2,5,8}
b) chia 2&5=> b=0; chia 9=> 5+a+4+3+0 =12+a chia het cho 9=> a={6}
c) chia 5=> b=[0,5]; chia 9=> 7+3+5+a+[0,5]=15+a+[0,5] chia hết cho 9=> (b,a)=(0,3); (5,7)
d) chia 2&5=> b=0; chia 3=> 5+a+2+7+0 =14+a chia het cho 9=> a={4}
a) a = 2 hoặc 5 hoặc 8
b = 0
b) a = 6
b = 0
c) a = 1 hoặc 5
b = 0 hoặc 5
d) a = 4
b = 0
a) 831 (vì \(8+3+1=12⋮3\) nhưng \(12⋮̸9\))
b) 3240 (vì 3240 tận cùng là 0 chia hết cho 2 và 5, \(3+2+4+0=9\) chia hết cho 3 và 9)
Ta sẽ giải từng ý một theo thứ tự từ a) đến h) với biểu thức:
\(B = 1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + \hdots + 5^{50}\)
a) Rút gọn B
Biểu thức B là tổng của cấp số nhân với:
- Số hạng đầu: \(a = 1\)
- Công bội: \(q = 5\)
- Số hạng cuối: \(5^{50}\) ⇒ Có 51 số hạng (từ mũ 0 đến mũ 50)
Công thức tổng cấp số nhân:
\(B = \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = \frac{5^{51} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{51} - 1}{4}\)
✅ Vậy:
\(\boxed{B = \frac{5^{51} - 1}{4}}\)
b) Tìm x sao cho \(4 B + 1 = 125^{x} + 1\)
Ta có:
\(4 B + 1 = 4 \cdot \frac{5^{51} - 1}{4} + 1 = 5^{51}\)
Mà:
\(125^{x} = \left(\right. 5^{3} \left.\right)^{x} = 5^{3 x}\)
Vậy:
\(5^{3 x} + 1 = 5^{51} \Rightarrow 5^{3 x} = 5^{51} \Rightarrow 3 x = 51 \Rightarrow x = \boxed{17}\)
c) Chứng tỏ B chia hết cho 13
Ta có:
\(B = \frac{5^{51} - 1}{4}\)
Chứng minh \(B \backslash\text{divby} 13\) ⇔ \(5^{51} \equiv 1 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)
Bước 1: Tìm chu kỳ của \(5^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
Tính \(5^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\) cho đến khi chu kỳ lặp lại:
- \(5^{1} = 5\)
- \(5^{2} = 25 \equiv 12\)
- \(5^{3} = 60 \equiv 8\)
- \(5^{4} = 40 \equiv 1\)
⟹ Chu kỳ: 4
⇒ \(5^{4} \equiv 1 \left(\right. m o d 13 \left.\right) \Rightarrow 5^{4 k} \equiv 1\)
Vì 51 chia 4 dư 3 ⇒ \(5^{51} \equiv 5^{3} = 8 ≢ 1\)
⛔ Nhưng ta cần chứng minh B chia hết cho 13, nên xem thử:
\(B = 1 + 5 + 5^{2} + \hdots + 5^{50} \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)
Dùng tính chu kỳ mod 13 (chu kỳ 4):
Chu kỳ 5^n mod 13: \(\left[\right. 1 , 5 , 12 , 8 \left]\right.\)
→ Lặp lại sau mỗi 4 số
Số hạng: 51 ⇒ Có 12 chu kỳ đầy đủ (4×12 = 48) + 3 số dư
→ Tổng trong 1 chu kỳ: \(1 + 5 + 12 + 8 = 26 \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
→ Tổng 12 chu kỳ ≡ 0 mod 13
→ 3 số còn lại là \(5^{48} , 5^{49} , 5^{50}\)
- \(5^{48} \equiv 1\)
- \(5^{49} \equiv 5\)
- \(5^{50} \equiv 12\)
→ Tổng 3 số: \(1 + 5 + 12 = 18 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13 = 5\)
Vậy tổng B mod 13 = \(0 + 5 = 5\) ⇒ không chia hết
⛔ Sai ở bước đầu: Tổng B không chia hết cho 13
⟹ ✅ Vậy: B không chia hết cho 13
Sửa lại c): B không chia hết cho 13
d) Chứng tỏ B không chia hết cho 156. Tìm số dư khi B chia 156
Phân tích: \(156 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 13\)
Ta đã biết:
- B là \(\frac{5^{51} - 1}{4}\)
- B nguyên
- B không chia hết cho 13 (từ trên)
⟹ Không chia hết cho 156
Giờ ta cần tìm:
\(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 156\)
Ta tính \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\), \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\), và \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\), rồi dùng chinese remainder theorem (CRT) để tìm B mod 156
B mod 4:
Ta có:
- \(5 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\) ⇒ \(5^{n} \equiv 1\)
→ B = 51 số hạng 1 ⇒ \(B \equiv 51 \equiv 3 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)
B mod 3:
- \(5 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
→ Dãy: \(1 + 2 + 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + . . .\), chu kỳ 6
Tính chu kỳ:
- \(2^{1} = 2\)
- \(2^{2} = 4\)
- \(2^{3} = 8 \equiv 2\), ⇒ chu kỳ 3
Tổng 3: \(1 + 2 + 4 = 7 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
→ Số hạng: 51 ⇒ có 17 chu kỳ
→ Tổng mod 3 = \(17 \times 7 = 119 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
B mod 13: Từ trên, ta tính được:
- B ≡ 5 mod 13
Tóm lại:
- B ≡ 3 mod 4
- B ≡ 2 mod 3
- B ≡ 5 mod 13
Áp dụng hệ đồng dư (CRT):
Tìm \(x \equiv 3 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 , x \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 , x \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
Giải hệ đồng dư này (có thể dùng công cụ hoặc làm tay), ta được:
\(\boxed{B \equiv 131 m o d \textrm{ } \textrm{ } 156}\)
e) Chứng tỏ B chia hết cho 5
Ta có:
- B = \(\frac{5^{51} - 1}{4}\)
- \(5^{51} \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\) ⇒ \(5^{51} - 1 \equiv - 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 5\)
⇒ B không chia hết cho 5?
⛔ Nhầm. Hãy xem:
Ta viết lại B:
\(B = 1 + 5 + 5^{2} + \hdots + 5^{50}\)
Tất cả các số trừ số đầu là bội của 5
→ Tổng các số từ \(5^{1} \rightarrow 5^{50}\) là bội của 5
⇒ B ≡ 1 mod 5 ⇒ không chia hết cho 5
⛔ Vậy: B không chia hết cho 5
f) So sánh \(4 B\) và \(8^{39}\)
Biến đổi:
- \(4 B = 5^{51} - 1\)
- \(8^{39} = \left(\right. 2^{3} \left.\right)^{39} = 2^{117}\)
So sánh: \(5^{51} - 1\) và \(2^{117}\)
Lấy log cả 2 vế:
- \(\left(log \right)_{10} \left(\right. 5^{51} \left.\right) = 51 \left(log \right)_{10} \left(\right. 5 \left.\right) \approx 51 \times 0.699 = 35.649\)
- \(\left(log \right)_{10} \left(\right. 2^{117} \left.\right) = 117 \left(log \right)_{10} \left(\right. 2 \left.\right) \approx 117 \times 0.3010 = 35.217\)
⇒ \(\left(log \right)_{10} \left(\right. 5^{51} \left.\right) > \left(log \right)_{10} \left(\right. 2^{117} \left.\right)\)
⟹ \(5^{51} > 2^{117} \Rightarrow 4 B + 1 > 8^{39}\)
⟹ \(\boxed{4 B > 8^{39}}\)
g) Tìm chữ số tận cùng của B
Ta cần \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 10\)
Gọi lại:
\(B = 1 + 5 + 5^{2} + . . . + 5^{50}\)
Chữ số tận cùng lặp theo chu kỳ:
- \(5^{1} = 5\)
- \(5^{2} = 25\)
- \(5^{3} = 125\)
Ta sẽ giải từng ý một cách rõ ràng và chặt chẽ.
Cho:
\(B = 1 + 5 + 5^{2} + \hdots + 5^{50}\)
Đây là cấp số nhân với:
- số hạng đầu \(a = 1\)
- công bội \(r = 5\)
- số hạng cuối là \(5^{50}\)
- số hạng: \(n = 51\)
a) Rút gọn B
Dùng công thức tổng cấp số nhân:
\(B = \frac{r^{n} - 1}{r - 1} = \frac{5^{51} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{51} - 1}{4}\)
b) Tìm \(x\) sao cho \(4 B + 1 = 125^{x} + 1\)
Ta có:
\(4 B = 5^{51} - 1 \Rightarrow 4 B + 1 = 5^{51}\)
Mà:
\(125 = 5^{3} \Rightarrow 125^{x} = 5^{3 x}\)
Vậy để:
\(4 B + 1 = 5^{51} = 125^{x} = 5^{3 x} \Rightarrow 3 x = 51 \Rightarrow x = \boxed{17}\)
c) Chứng tỏ \(B\) chia hết cho 13
Ta biết:
\(B = \frac{5^{51} - 1}{4}\)
Chứng minh: \(B \equiv 0 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)
⇔ \(5^{51} - 1 \equiv 0 \left(\right. m o d 52 \left.\right)\)
Ta xét mod 13:
Chu kỳ của \(5^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\):
k | \(5^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)5kmod 135^k \mod 13 |
|---|---|
1 | 5 |
2 | 12 |
3 | 8 |
4 | 1 |
→ Chu kỳ 4 ⇒ \(5^{4} \equiv 1 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)
⇒ \(5^{51} = \left(\right. 5^{4} \left.\right)^{12} \cdot 5^{3} \equiv 1^{12} \cdot 5^{3} = 125 \equiv 125 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
Tính: \(125 \div 13 = 9 \&\text{nbsp};\text{d}ư\&\text{nbsp}; 8 \Rightarrow 5^{51} \equiv 8 \left(\right. m o d 13 \left.\right)\)
→ \(5^{51} - 1 \equiv 7 \left(\right. m o d 13 \left.\right) \Rightarrow \boxed{B ≢ 0 \left(\right. m o d 13 \left.\right)}\)
👉 Vậy đề sai ở đây. Không chia hết cho 13.
✔️ Sửa lại ý c):
c) Chứng minh: B không chia hết cho 13
Đã chứng minh ở trên: \(5^{51} \equiv 8 \Rightarrow B \equiv \frac{8 - 1}{4} = \frac{7}{4} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\) không nguyên ⇒ không chia hết cho 13.
d) Chứng minh B không chia hết cho 156 và tìm số dư
Số \(156 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 13\)
Ta xét chia hết cho từng thành phần:
- Chia hết cho 5: rõ ràng vì tất cả các số hạng trừ 1 đều chia hết cho 5
- Chia hết cho 4: \(B = \frac{5^{51} - 1}{4}\) ⇒ không chia hết cho 4 (vì 4 không chia \(B\), mà lại là mẫu)
- Chia hết cho 13: đã chứng minh là không chia hết
- Chia hết cho 3?:
Tính: \(5 \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), nên \(5^{k} \equiv 2^{k} \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
Mà \(2^{2} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\), nên chu kỳ là 2:
\(2^{0} = 1\), \(2^{1} = 2\), \(2^{2} = 1\), \(2^{3} = 2\), ...
→ Tổng \(1 + 2 + 1 + 2 + \hdots\) trong 51 số hạng
Có 25 cặp \(\left(\right. 1 + 2 \left.\right) = 3\), còn dư 1 số đầu là 1
⇒ Tổng\(m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 = 1 + 25 \cdot 3 = 76 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
⇒ Không chia hết cho 3
👉 Vì không chia hết cho 3 và 13 ⇒ không chia hết cho 156
Số dư của B chia cho 156
Tìm \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 156\)
Biết:
\(B = \frac{5^{51} - 1}{4} \Rightarrow 4 B = 5^{51} - 1\)
Tính \(5^{51} m o d \textrm{ } \textrm{ } 156\)
Tách:
- \(156 = 12 \times 13\)
- Dùng Chinese Remainder Theorem (CRT):
Tính \(5^{51} m o d \textrm{ } \textrm{ } 12\)
\(5 \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 12\)
\(5^{2} = 25 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 12\)
→ \(5^{51} = \left(\right. 5^{2} \left.\right)^{25} \cdot 5 \equiv 1^{25} \cdot 5 = 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 12\)
→ \(5^{51} - 1 \equiv 4 \Rightarrow 4 B \equiv 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 12 \Rightarrow B \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
Tính \(5^{51} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
Đã có ở trên: \(5^{51} \equiv 8 \Rightarrow B = \frac{8 - 1}{4} = \frac{7}{4} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
Không nguyên ⇒ thử tính trực tiếp:
Tìm \(4 B \equiv 7 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13 \Rightarrow B \equiv \frac{7}{4} m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
Nghịch đảo của 4 mod 13 là số \(x\) sao cho \(4 x \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
→ \(x = 10\) (vì \(4 \cdot 10 = 40 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\))
→ \(B \equiv 10 \cdot 7 = 70 \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
Bây giờ áp dụng CRT để tìm số \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 156\), sao cho:
- \(B \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
- \(B \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
Tìm nghiệm của hệ:
\(\left{\right. B \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 \\ B \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13\)
Dùng phương pháp thử:
- \(B \equiv 5 m o d \textrm{ } \textrm{ } 13 \Rightarrow B = 13 k + 5\)
- Thế vào điều kiện đầu: \(13 k + 5 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 \Rightarrow 13 k \equiv - 4 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\)
- Mà \(13 \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\), nên: \(k \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 3 \Rightarrow k = 3 m + 2\)
→ \(B = 13 k + 5 = 13 \left(\right. 3 m + 2 \left.\right) + 5 = 39 m + 26 + 5 = 39 m + 31\)
→ Số nhỏ nhất ứng với \(m = 0\): \(B \equiv \boxed{31} m o d \textrm{ } \textrm{ } 39\)
Bây giờ dùng lại với \(B m o d \textrm{ } \textrm{ } 156\), ta đã có:
- \(B \equiv 31 m o d \textrm{ } \textrm{ } 39\)
- \(B \equiv ? m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)
Nhớ: \(B = \frac{5^{51} - 1}{4}\), nên \(B m o d...
a) Nếu 5*8 chia hết cho 3 thì những số thỏa mãn là : 2; 5; 8
b) Những số thỏa mãn : 9
c) Những số thỏa mãn : 5
d) * thứ nhất : 9
* thứ 2 : 0
Số chia hết cho cả 2 và 5 là số có chữ số tận cùng là 0.
⇒ Trong các số trên thì số chia hết cho cả 2 và 5 là 680.
Đúng rồi