Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A=2100-1
=>2100-1+1=2100
Vậy n=100
Ta có:A=1+2+22+...+299
=(1+2)+(22+23)+...+(298+299)
=1(1+2)+22(1+2)+...+298(1+2)
=1.3+22.3+...+298.3
Vì 3 chia hết cho 3 nên 1.3+22.3+...+298.3 chia hết cho 3
hay A chia hết cho 3
Vậy A chia hết cho 3
Ta có : 12 + 22 + 32 + ..... + 992 + 1002
= 1.1 + 2.2 + 3.3 + ..... + 99.99 + 100.100
= 1(2 - 1) + 2(3 - 1) + 3(4 - 1) + ..... + 99.(100 - 1) + 100(101 - 1)
= 1.2 - 1 + 2.3 - 2 + 3.4 - 3 + ..... + 99.100 - 99 + 100.101 - 100
= (1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 99.100 + 100.101) - (1 + 2 + 3 + ..... + 99 + 100)
Bước này mk làm tắt nếu bạn muốn hiểu tình đặt A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 100.101 , B = 1 + 2 + 3 + ..... + 100 rồi tính ra nhé :
= 343400 - 5050
= 338350
Bạn Trung làm đúng. Cô giới thiệu cách chứng minh công thức tổng quát tính tổng \(A=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) bằng quy nạp.
Với n = 1, ta thấy công thức trên đúng.
Giả sử công thức trên đúng với n = k, tức là:\(1^2+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\)
Ta cần chứng minh \(1^2+2^2+3^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}\)
Thật vậy : \(VT=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\left(k+1\right)}{6}\)
\(=\frac{\left(k+1\right)\left[k\left(2k+1\right)+6\left(k+1\right)\right]}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}\)
\(=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}=VP\)
Vậy nên ta đã chứng minh được \(A=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
Thay vào ta có : \(1^2+2^2+...+100^2=\frac{100.101.201}{6}=338350\)
Theo quy tắc cách tính tổng của n số tự nhiên liên tiếp: \(\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) thì ta có:
Tổng các bình phương của 100 số tự nhiên liên tiếp là: \(\dfrac{100\left(100+1\right)\left(100.2+1\right)}{6}=\dfrac{100\left(101.201\right)}{6}\) \(=\dfrac{100.20301}{6}\) \(=338350\)
Vậy tổng các bình phương của 100 số tự nhiên liên tiếp là \(338350\).
1 ) Ta có :
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\)
\(..........\)
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}< 1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\) (đpcm)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}< 1\)
=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\)
Bài 1:
ĐKXĐ:\(n\ne-2\)
Ta có:\(\frac{n-1}{n+2}=1-\frac{3}{n+2}\)
Để phân số đó nguyên thì \(n+2\inƯ\left(3\right)\)
=> \(n+2=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)
=> \(n=\left\{-5;-3;-1;1\right\}\)
Mà \(n\in N\)=> n=1
Bài 2:
ĐKXĐ \(a\ne1;-1\)
Để \(\frac{21}{a}\in N\)
Thì \(a\inƯ\left(21\right)\)
=>a={1;3;7;21} (1)
Để \(\frac{22}{a-1}\in N\)thì \(a-1\inƯ\left(22\right)\)
=>a-1={1;2;11;22}
=>a={1;3;12;23} (2)
Để \(\frac{24}{a+1}\in N\)Thì \(a+1\inƯ\left(24\right)\)
=> a+1={1;2;4;6;12;24}
=>a={0;1;3;5;11;23} (3)
Kết hợp (1);(2);(3) và ĐKXĐ ta có a=3 thì cả 3 phân số trên là số tự nhiên
2A=2101-2100-299-....-22-2
=>2A-A=2101-2.2100+1
=>A=1
\(A=2^{100}-2^{99}-2^{98}-...-2^2-2-1\)
\(2A=2\left(2^{100}-2^{99}-...-1\right)\)
\(2A=2^{101}-2^{100}-...-2\)
\(2A-A=\left(2^{101}-2^{100}-...-2\right)-\left(2^{100}-2^{99}-...-1\right)\)
\(A=2^{101}-\left(2^{100}-1\right)=1\)