Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
nhầm mk giải lại
vì x;y;z là 3 số dương \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>=\frac{9}{x+y+z}\)(bđt cauchy schwarz dạng engel)
dấu = xảy ra khi x=y=z=2
mà x+y+z<=6\(\Rightarrow\frac{9}{x+y+z}>=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.=\frac{3}{2}\)
vì x;y;z là 3 số dương \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>=\frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)(bđt caucht schwarz dạng engel)
dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{6}{3}=2\)
vậy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>=\frac{3}{2}\)
111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111+11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111-2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=?
Ta có:
\(\frac{1}{x^2+x}+\frac{x+1}{4x}\ge\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+x}\ge\frac{3}{4x}-\frac{1}{4}\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y^2+y}\ge\frac{3}{4y}-\frac{1}{4}\left(2\right)\\\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4z}-\frac{1}{4}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\frac{3}{4}\)
\(\ge\frac{3}{4}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy GTNN là \(P=\frac{3}{2}\)đạt được khi \(x=y=z=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=9\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+x+y^2+y+z^2+z}\)
\(=\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2\right)+\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
\(P=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1\div16}{16x\div16}+\frac{1\div4}{4y\div4}+\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(P=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left(\frac{7}{4}\right)^2}{1}=\frac{49}{16}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+1}{x+y+z}=\frac{21}{16}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{21}\\y=\frac{4}{21}\\z=\frac{16}{21}\end{cases}}\)
Vậy MinP = 49/16
Sửa đề : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}\)
Thay \(2019=x+y+z\)ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y}{xy}+\frac{x}{xy}=\frac{z}{z\left(x+y+z\right)}-\frac{x+y+z}{z\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{z-x-y-z}{z\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{-\left(x+y\right)}{z\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)=-xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)+xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[z\left(x+y+z\right)+xy\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xz+yz+z^2+xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[z\left(x+z\right)+y\left(x+z\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)=0\)
( mình chỉ xét 1 t/h, các t/h còn lại hoàn toàn tương tự )
TH1 : \(x+y=0\)
\(\Leftrightarrow x=-y\)(1)
Thay (1) vào A ta có :
\(A=\frac{1}{-y^{2019}}+\frac{1}{y^{2019}}+\frac{1}{z^{2019}}\)
\(A=\frac{1}{z^{2019}}\)
Mặt khác : \(x+y+z=2019\)
Thay (1) vào đẳng thức trên ta được : \(-y+y+z=2019\)
\(\Leftrightarrow z=2019\)
Thay z vào A ta được : \(A=\frac{1}{2019^{2019}}\)
x < y < z => 1/x > 1/y > 1/z
=> 3/x > 1/x + 1/y + 1/z
=> 3/x > 1/3 = 3/9
=> x < 9 (1)
Có: 1/x < 1/3 do 1/x + 1/y + 1/z = 1/3
=> x > 3 (2)
Từ (1) và (2) do x nguyên dương lẻ => x = 5 hoặc x = 7
+ Với x = 5 => 1/y + 1/z = 1/3 - 1/5 = 2/15
Có: 2/y > 1/y + 1/z
=> 2/y > 2/15
=> y < 15 (3)
Có: 2/y < 2.2/15 do 1/y + 1/z = 2/15
=> 4/2y < 4/15 => 2y > 15 => y > 15/2 (4)
Từ (3) và (4), do y nguyên dương lẻ nê y = 9 hoặc y = 11 hoặc y = 13
Giá trị tương ứng của z là: 45; 165/7; 195/11
Dễ thấy z = 45 thỏa mãn x < y < z và z nguyên dương lẻ
+ Với x = 7 => 1/y + 1/z = 1/3 - 1/7 = 4/21
Có: 2/y > 1/y + 1/z
=> 4/y > 4/21
=> y < 21 (5)
Lại có: 1/y < 4/21 do 1/y + 1/z = 4/21
=> 4/4y < 4/21 => 4y > 21 => y > 21/4 (6)
Từ (5) và (6) do y nguyên dương lẻ => y thuộc {7;9;11;13;15;17;19}
Thử từng giá trị của y ta đều thấy vô lý
Vậy x = 5; y = 9; z = 45
ths nhìu nhìu cho mik hỏi xíu tại sao 2/y>1/y+1/z vậy?