Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+y\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)+z\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=-2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}=-2\)
\(\Leftrightarrow x^2z+x^2y+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y+2xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-y\\y=-z\\z=-x\end{cases}}\)
Với \(x=-y\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=1\)
\(\Rightarrow z=1\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{-x}+\frac{1}{1}=1\)
Tương tự cho các trường hợp còn lại.
đặt \(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{x}=a\\y+\frac{1}{y}=b\\z+\frac{1}{z}=c\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2\\y^2+\frac{1}{y^2}=b^2-2\\z^2+\frac{1}{z^2}=c^2-2\end{cases}}\)
thay vào đề ta đc: \(\hept{\begin{cases}a+b+c=\frac{51}{4}\\a^2+b^2+c^2-6=\frac{771}{16}=>a^2+b^2+c^2=\frac{867}{16}\end{cases}}\)
mình chưa học giải hpt nên đến đây k biết lm đc nữa k
=))
\(A=\left(\frac{1}{x}+2x\right)+\left(\frac{1}{y}+2y\right)+\left(\frac{1}{z}+2z\right)\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{1}{x}+2x\ge\frac{1}{8x^2}+\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(2x-1\right)^2\left(4x-1\right)}{8x^2}\ge0\) ( luôn đúng)
Tương tự ta cũng có:
\(2y+\frac{1}{y}\ge\frac{1}{8y^2}+\frac{5}{2};2z+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{8z^2}+\frac{5}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có;
\(A\ge\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)+\frac{5}{2}\cdot3=9\)
Xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
b2 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{y}.\)\(\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{1}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{1}{z}}\)rồi dung bunhia là xong
A= \(\frac{1}{a^3}\)+ \(\frac{1}{b^3}\)+ \(\frac{1}{c^3}\)+ \(\frac{ab^2}{c^3}\)+ \(\frac{bc^2}{a^3}\)+ \(\frac{ca^2}{b^3}\)
Svacxo:
3 cái đầu >= \(\frac{9}{a^3+b^3+c^3}\)
3 cái sau >= \(\frac{\left(\sqrt{a}b+\sqrt{c}b+\sqrt{a}c\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Cô-si: cái tử bỏ bình phương >= 3\(\sqrt{abc}\)
=> cái tử >= 9abc= 9 vì abc=1
Còn lại tự làm
\(\Leftrightarrow\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)
mà \(x\left(y+z\right)\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{4}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}}=\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{16}{16}=1\left(đpcm\right)\)