Question

[Lê Minh Tùng]

Tìm x; y nguyên biết  x(x+1)(x+2)(x+3)=Y²

Answer 1

[Mr Lazy]

\(x\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right)=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x+1-1\right)\left(x^2+3x+1+1\right)=y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x+1\right)^2-1=y^2\)

\(\text{Đặt }x^2+3x+1=a\)

\(a^2-1=y^2\Leftrightarrow\left(a+y\right)\left(a-y\right)=1=1.1=-1.\left(-1\right)\)

\(\text{Do }x,y\text{ nguyên nên }a+y;a-y\text{ nguyên}\)

\(+\text{TH1:}a+y=1\text{ và }a-y=1\Leftrightarrow a=1\text{ và y = 0}\)

\(a=1=x^2+3x+1\Leftrightarrow x^2+3x=0\Leftrightarrow x=0\text{ hoặc }x=-3\)

\(\text{+TH2: }a+y=-1\text{ và }a-y=-1\Leftrightarrow a=-1\text{ và }y=0\)

\(a=-1=x^2+3x+1\Leftrightarrow x^2+3x+2=0\Leftrightarrow x=-1\text{ hoặc }x=-2\)

\(\text{Vậy các cặp số }\left(x,y\right)\text{nguyên thỏa mãn là: }\left(0;0\right),\left(-1;0\right),\left(-2;0\right),\left(-3;0\right)\)