Question

[Đặng Anh Thư]

Tìm x, y > 0 sao cho:

\(\left(x^2+4\right)\left(y^2+9\right)=24xy\)

Answer 1

[Trần Công Mạnh]

Giải

\(\left(x^2+4\right)\left(y^2+9\right)=24xy\)

\(\left(x^2+4\right)\left(y^2+9\right)-24xy=0\)

\(x^2\left(y^2+9\right)+4\left(y^2+9\right)-24xy=0\)

\(x^2y^2+9x^2+4y^2+36-24xy=0\)

\(x^2y^2+9x^2+4y^2+36-12xy-12xy=0\)(Tách -24xy thành -12xy - 12xy)

\(\left(9x^2-12xy+4y^2\right)+\left(x^2y^2-12xy+36\right)=0\)(Đổi chỗ)

\(\left[\left(3x\right)^2-2.3x.2y+\left(2y\right)^2\right]+\left[\left(xy\right)^2-2.xy.6+6^2\right]=0\)(Biến đổi thế này để có hằng đẳng thức đấy)

\(\left(3x-2y\right)^2+\left(xy-6\right)^2=0\)(Cả hai hạng tử ta đều sử dụng hằng đẳng thức \(A^2-2AB+B^2=\left(A-B\right)^2\))

Ta luôn có \(\left(3x-2y\right)^2\ge0\)và \(\left(xy-6\right)^2\ge0\)

Do đó \(\left(3x-2y\right)^2+\left(xy-6\right)^2\ge0\).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left(3x-2y\right)^2=0\)và \(\left(xy-6\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x=2y\\xy=6\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{3}\\xy=6\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(\frac{x}{2}\right)^2=\left(\frac{y}{3}\right)^2=\frac{xy}{2.3}\\xy=6\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{x}{2}\right)^2=\left(\frac{y}{3}\right)^2=\frac{6}{6}=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(\frac{x}{2}\right)^2=1\\\left(\frac{y}{3}\right)^2=1\end{cases}}\)

Vì \(x,y>0\)(đề cho) nên \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}>0\\\frac{y}{3}>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=1\\\frac{y}{3}=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

Vậy phương trình có cặp nghiệm (x; y) là (2; 3)

Không hiểu thì hỏi nha