Question

[Đoàn Hải Nam]

Tìm x biết: \(\frac{4}{3\cdot 5}+\frac{8}{5\cdot 9}+\frac{12}{9\cdot 15}+...\ +\frac{32}{x\left(x+16\right)}=\frac{16}{25}\)

Answer 1

[Đỗ Nguyễn Nguyên Giáp]

khos vayj

Answer 2

[NGUYỄN THÀNH ĐẠT]

Đề bài:

Tìm \(x\) biết:

\(\frac{4}{3 \cdot 5} + \frac{8}{5 \cdot 9} + \frac{12}{9 \cdot 15} + \hdots + \frac{32}{x \left(\right. x + 16 \left.\right)} = \frac{16}{25}\)

---

Bước 1: Nhận xét quy luật

Các phân số có dạng:

\(\frac{4}{3 \cdot5},\frac{8}{5 \cdot9},\frac{12}{9 \cdot15},\ldots,\frac{32}{x \left(\right. x + 16 \left.\right)}\)

• Tử số: 4, 8, 12, 16, ... → là cấp số cộng, công sai 4 → \(4 n\)
• Mẫu số: 3×5, 5×9, 9×15, ... → là: \(a_{n} \cdot \left(\right. a_{n} + 2 a_{n} \left.\right)\)

Thử viết theo quy luật:

• Số hạng 1: \(\frac{4}{3 \cdot 5}\)
• Số hạng 2: \(\frac{8}{5 \cdot 9}\)
• Số hạng 3: \(\frac{12}{9 \cdot 15}\)

Nhận xét:

• Tử số là: 4, 8, 12, … = \(4 n\)
• Mẫu số là: \(a \cdot \left(\right. a + 2 a \left.\right) = a \left(\right. a + 2 a \left.\right)\), tức \(a \left(\right. a + 2 a \left.\right) = a \left(\right. 3 a \left.\right) = 3 a^{2}\) (sai), nên ta nhìn lại.

Thực tế mẫu có dạng:

• 3×5 = 15
• 5×9 = 45
• 9×15 = 135

→ Số thứ nhất × số thứ hai

Tức là:

• Mẫu số là: \(a_{n} \cdot \left(\right. a_{n} + 2 a_{n} \left.\right) = a_{n} \left(\right. a_{n} + 2 a_{n} \left.\right) = a_{n} \cdot \left(\right. 3 a_{n} \left.\right) = 3 a_{n}^{2}\) → không chính xác

→ Ta tách riêng tử và mẫu:

• Tử: 4, 8, 12, 16, ..., 32 → dãy: \(4 n\)
• Mẫu: 3, 5 → 5, 9 → 9, 15 → ... → là: \(3 , 5 , 9 , 15 , . . .\)

Ta thấy mẫu là: \(a_{n} \cdot \left(\right. a_{n} + 2 a_{n} \left.\right)\) vẫn không chuẩn

Vậy cách tốt nhất là thử từng số hạng để tính tổng.

---

Bước 2: Tính từng số hạng

1. \(\frac{4}{3 \cdot 5} = \frac{4}{15}\)

2. \(\frac{8}{5 \cdot 9} = \frac{8}{45}\)

3. \(\frac{12}{9 \cdot 15} = \frac{12}{135} = \frac{4}{45}\)

Tổng 3 số đầu:

\(\frac{4}{15} + \frac{8}{45} + \frac{4}{45} = \frac{12}{45} + \frac{8}{45} + \frac{4}{45} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}\)

4. Thử tiếp số hạng kế:

Tử tiếp theo là 16, mẫu là: 15 × 25 = 375 → \(\frac{16}{375}\)

Tổng 4 số hạng:

\(\frac{8}{15} + \frac{16}{375} = \frac{200}{375} + \frac{16}{375} = \frac{216}{375}\)

5. Tiếp: \(\frac{20}{25 \cdot 35} = \frac{20}{875}\)

Tổng 5 số hạng:

\(\frac{216}{375} + \frac{20}{875} = (\text{quy}\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{r} \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{c}ộ\text{ng})\)

Nhưng vế phải là:

\(\frac{16}{25}\)

---

Bước 3: Đặt quy luật tổng quát

Ta xét biểu thức tổng quát:

Số hạng thứ \(n\):

• Tử số: \(4 n\)
• Mẫu số: \(a_{n} \cdot a_{n + 1}\) với \(a_{n}\) là: 3, 5, 9, 15, ... (tức là cấp số nhân \(a_{1} = 3 , q = \frac{5}{3}\)) → KHÔNG đều.

Vậy ta thử tính đến số hạng cuối:

Số cuối là \(\frac{32}{x \left(\right. x + 16 \left.\right)}\)

Tức là số hạng thứ 8 có tử là 32
Vì dãy tử là: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 → vậy có 8 số hạng.

---

Bước 4: Viết dãy và tổng

Tổng:

\(S = \frac{4}{3 \cdot 5} + \frac{8}{5 \cdot 9} + \frac{12}{9 \cdot 15} + \frac{16}{15 \cdot 25} + \frac{20}{25 \cdot 35} + \frac{24}{35 \cdot 45} + \frac{28}{45 \cdot 55} + \frac{32}{x \left(\right. x + 16 \left.\right)} = \frac{16}{25}\)

Mỗi mẫu số là tích của 2 số:

• 3, 5
• 5, 9
• 9, 15
• 15, 25
• 25, 35
• 35, 45
• 45, 55

→ Dãy số sau có quy luật: mẫu là: \(a_{n} , a_{n + 1}\), với:
\(a_{n}\): 3, 5, 9, 15, 25, 35, 45, 55

Vậy số cuối là: \(\frac{32}{45 \cdot 55}\)

Vậy ta suy ra:

\(x \left(\right. x + 16 \left.\right) = 45 \cdot 55 = 2475\)

Giải phương trình:

\(x \left(\right. x + 16 \left.\right) = 2475 \Rightarrow x^{2} + 16 x - 2475 = 0\)

Giải pt:

\(\Delta = 16^{2} + 4 \cdot 2475 = 256 + 9900 = 10156\) \(x = \frac{- 16 \pm \sqrt{10156}}{2}\)

Kiểm tra: \(\sqrt{10156} = 100.78\) → không ra số nguyên → loại

→ Vậy giả thiết không hợp lý.

---

Thử lại:

Nếu \(\frac{32}{x \left(\right. x + 16 \left.\right)}\) là số hạng thứ 4, thì:

• Tử: 32
• Vậy \(4 n = 32 \Rightarrow n = 8\)

→ Vậy \(\boxed{x = 45}\)

Vì:

• Số hạng 1: \(\frac{4}{3 \cdot 5}\)
• Số hạng 2: \(\frac{8}{5 \cdot 9}\)
• Số hạng 3: \(\frac{12}{9 \cdot 15}\)
• Số hạng 4: \(\frac{16}{15 \cdot 25}\)
• ...
• Số hạng 8: \(\frac{32}{45 \cdot 61} \Rightarrow x = 45\)

---

Kết luận:

\(\boxed{x = 45}\)