Question

[Kẻ Huỷ Diệt]

Tìm x biết:

      1² + 2² + 3² + ... + x² = 10416.

     <CASIO>

Answer 1

[Phước Nguyễn]

Ta có:

\(1^2+2^2+3^2+...+x^2=10416\)

\(\Leftrightarrow\)  \(1.\left(0+1\right)+2\left(1+1\right)+3\left(2+1\right)+...+x\left[\left(x-1\right)+1\right]=10416\)

\(\Leftrightarrow\)  \(1+1.2+2+2.3+3+...+\left(x-1\right)x+x=10416\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\left[1.2+2.3+...+\left(x-1\right)x\right]+\left(1+2+3+...+x\right)=10416\)  \(\left(1\right)\)

Đặt   \(A=\left[1.2+2.3+...+\left(x-1\right)x\right]\)  và  \(B=1+2+3+...+x\), khi đó ta lần lượt xét các biểu thức để quy về dạng phân số đơn giản

\(3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+\left(x-1\right).x.3\)

        \(=1.2\left(3-0\right)+2.3\left(4-1\right)+3.4\left(5-2\right)+...\left(x-1\right).x.\left[\left(x+1\right)-\left(x-2\right)\right]\)

        \(=1.2.3-2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)-\left(x-2\right).\left(x-1\right).x\)

\(3A=\left(x-1\right).x.\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow\)  \(A=\frac{\left(x-1\right)x\left(x+1\right)}{3}\)

Tương tự, ta dễ dàng biến đổi biểu thức  \(B\)  dưới dạng  \(B=\frac{x\left(x+1\right)}{2}\)

Khi đó,  \(\left(1\right)\)  \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{\left(x-1\right)x\left(x+1\right)}{3}+\frac{x\left(x+1\right)}{2}=10416\)

Giải phương trình trên, ta được  \(x=31\)