Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(M\in\Delta_1\Rightarrow M\left(2t+3;t\right)\)
.
Khoảng cách từ M đến đường thẳng \(\Delta_2\)bằng \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow\)\(d\left(M,\Delta_2\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left|2t+3+t+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\left|3t+4\right|=1\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=\dfrac{-5}{3}\end{matrix}\right.\)
* \(t=-1\)
\(\Rightarrow M\left(1;-1\right)\)
*\(t=\dfrac{-5}{3}\)
\(\Rightarrow M\left(\dfrac{-1}{3};\dfrac{-5}{3}\right)\)
a) đặc C (x;y) , ta có : C \(\in\) (d) \(\Leftrightarrow x=-2y-1\)
vậy C (-2y -1 ; y ).
tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi
CA = CB \(\Leftrightarrow\) CA2 = CB2
\(\Leftrightarrow\) (3+ 2y + 1)2 + (- 1- y)2 = (- 1+ 2y + 1)2 + (- 2- y)2
\(\Leftrightarrow\) (4 + 2y)2 + (1 + y)2 = 4y2 + (2 + y)2
giải ra ta được y = \(\dfrac{-13}{14}\) ; x = \(-2\left(\dfrac{-13}{14}\right)-1=\dfrac{13}{7}-1=\dfrac{6}{7}\)
vậy C có tọa độ là \(\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{-13}{14}\right)\)
b) xét điểm M (- 2t - 1 ; t) trên (d) , ta có :
\(\widehat{AMB}\) = 900 \(\Leftrightarrow\) AM2 + BM2 = AB2
\(\Leftrightarrow\) (4 + 2t)2 + (1 + t)2 + 4t2 + (2 + t)2 = 17
\(\Leftrightarrow\) 10t2 +22t + 4 = 0 \(\Leftrightarrow\) 5t2 + 11t + 2 = 0
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=\dfrac{-1}{5}\\t=-2\end{matrix}\right.\)
vậy có 2 điểm thỏa mãn đề bài là M1\(\left(\dfrac{-3}{5};\dfrac{-1}{5}\right)\) và M2\(\left(3;-2\right)\)
Vì B thuộc đường thẳng (AB) nên \(B\left(a;1-2a\right)\)
Tương tự \(C\left(-2-4b;3b\right)\)
Ta có : \(\overrightarrow{MB}=\left(a-1;4-2a\right);\overrightarrow{MC}=\left(-3-4b;3b+3\right)\)
Ta có \(\left(AB\right)\cap\left(AC\right)=\left\{A\right\}\Rightarrow A\left(2;-3\right)\)
Vì B, M, C thẳng hàng, \(3MB=2MC\) nên ta có : \(3\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MC}\) hoặc \(3\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MC}\)
- Trường hợp 1 : \(3\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MC}\Rightarrow\begin{cases}3\left(a-1\right)=2\left(-3-4b\right)\\3\left(4-2a\right)=2\left(3b+3\right)\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}a=\frac{11}{5}\\b=\frac{-6}{5}\end{cases}\)
\(\Rightarrow B\left(\frac{11}{5};-\frac{17}{5}\right);C\left(\frac{11}{5};-\frac{18}{5}\right)\Rightarrow G\left(\frac{7}{3};\frac{10}{3}\right)\)
- Trường hợp 2 : \(3\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{MC}\Rightarrow\begin{cases}3\left(a-1\right)=-2\left(-3-4b\right)\\3\left(4-2a\right)=-2\left(3b+3\right)\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}a=3\\b=0\end{cases}\)
\(\Rightarrow B\left(3;-5\right);C\left(-2;0\right)\Rightarrow G\left(1;\frac{-8}{3}\right)\)
a. Vì \(2-2.5+3=-5< 0\) và \(-4-2.5+3=-11< 0\) nên A, B cùng phía với đường thẳng \(\Delta\).
Gọi \(A'\left(x;y\right)\) là điểm đối xứng với A qua \(\Delta\), khi đó (x;y) là nghiệm của hệ :
\(\begin{cases}\frac{x-2}{1}=\frac{y-5}{-2}\\\frac{x-2}{1}-2.\frac{y+5}{2}+3=0\end{cases}\)
Giải hệ ta được : \(\left(x;y\right)=\left(4;1\right)\) suy ra \(\overrightarrow{A'B}=\left(-8;4\right)=4\left(-2;1\right)\)
Do đó đường thẳng A'B có phương trình tham số \(\begin{cases}x=4-2t\\y=1+t\end{cases}\)\(;t\in R\)
Suy ra điểm C cần tìm có tọa độ là nghiệm của hệ :
\(\begin{cases}x=4-2t\\y=1+t\\x-2y+3=0\end{cases}\)
Giải hệ ta có điểm C \(\left(\frac{3}{2};\frac{9}{4}\right)\)
b. Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó\(I\left(-1;5\right)\) và \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}\), với mọi C.
Vậy \(C\in\Delta\) : \(\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|\) bé nhất \(\Leftrightarrow\left|CI\right|\) bé nhất \(\Leftrightarrow C\) là hình chiếu của I trên \(\Delta\)
Nếu \(C\left(x;y\right)\) là hình chiếu của I trên \(\Delta\) thì (x;y) là nghiệm của hệ :
\(\begin{cases}\frac{x+1}{1}=\frac{y-5}{-2}\\x-2y+3=0\end{cases}\)
Giải hệ thu được : \(\left(x;y\right)=\left(\frac{3}{5};\frac{9}{5}\right)\) vậy \(C\left(\frac{3}{5};\frac{9}{5}\right)\)
Đường thẳng \(\Delta\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)\) nên nhận \(\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)\) làm vecto chỉ phương.
Từ đó để ý rằng đường thẳng \(\Delta\) cắt Ox tại \(M\left(-3;0\right)\) nên \(\Delta\) có phương trình dạng tham số :
\(\begin{cases}x=-3+2t\\y=t\end{cases}\) \(\left(t\in R\right)\)
a. Xét \(C\left(-3+2t;t\right)\in\Delta\), khi đó :
\(CA+CB=\sqrt{\left(5-2t\right)^2+\left(5-t\right)^2}+\sqrt{\left(2t+1\right)^2+\left(t-5\right)^2}\)
\(=\sqrt{5t^2-30t+50}+\sqrt{5t^2-6t+26}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{5}t-3\sqrt{5}\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{3}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}t\right)^2+\frac{121}{5}}\)
\(\ge\sqrt{\left(\frac{3}{\sqrt{5}}-3\sqrt{5}\right)^2+\left(\sqrt{5}+\frac{11}{\sqrt{5}}\right)^2}=4\sqrt{5}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
\(\frac{\sqrt{5}t-3\sqrt{5}}{\frac{3}{\sqrt{5}}-\sqrt{5}t}=\frac{5}{11}\Leftrightarrow t=\frac{9}{4}\)
Từ đó tìm được : \(C\left(\frac{3}{2};\frac{9}{4}\right)\)
b. Với \(C\left(=3+2t;t\right)\in\Delta\) ta có \(\overrightarrow{CA}=\left(5-2t;5-t\right)\) và \(\overrightarrow{CB}=\left(-1-2t;5-t\right)\)
Suy ra : \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=\left(4-4t;10-2t\right)\) và do đó :
\(\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right|=\sqrt{\left(4-4t\right)^2+\left(10-2t\right)^2}=\sqrt{\left(2\sqrt{5}t-\frac{18}{\sqrt{5}}\right)^2+\frac{256}{5}}\ge\frac{16}{\sqrt{5}}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(t=\frac{9}{5}\)
Do đó điểm C cần tìm là \(\left(\frac{3}{5};\frac{9}{5}\right)\)
Đáp án B
Do điểm M nằm trên trục hoành nên M( x; 0)
Khoảng cách từ M đến mỗi đường thẳng lần lượt là:
Theo bài ra ta có: d( M; a) = d( M; b) nên
Do đó:
Sut ra 3x- 6= -3x-3 nên x= 1/2
Vậy điểm M ( 1/2; 0)