Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử 2≤b≤a<c có a(a+1)=c(c+1)−b(b+1)=(c−b)(c+b+1) (1)
Do a+1<c+b+1 từ (1)⇒c−b<a⇒c<a+b⇒c+b+1<a+2b+1⇒c+b+1<3a+1
c>a⇒c+b+1=2a hoặc c+b+1=3a
Vì a,b,c là các số nguyên tố , c>a⇒c lẻ ta có 2 trường hợp
TH1: c+b+1=2a; Do c+1 và 2a là số chẵn thì b là số nguyên tố chẵn nên b chẵn nên b=2
Từ đó tìm ra 3a=11 (loại)
TH2: c+b+1=3a thay vào (1) có a+1=3(c−b) mà c=3a−b−1⇒a+1=3(3a−2b−1)⇒3b=4a−2⇒b chẵn ⇒b=2⇒a=2⇒c=3
A B C D H K a, Vẽ phân giác AD của góc BAC
Kẻ BH\(\perp\)AD tại H ; CK\(\perp AD\) tại K
Dễ thấy \(sin\widehat{A_1}=sin\widehat{A_2}=sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{CK}{AC}=\dfrac{BH+CK}{AB+AC}\le\)\(\le\dfrac{BD+CD}{b+c}=\dfrac{a}{b+c}\)
b, Tượng tự \(sin\dfrac{B}{2}\le\dfrac{b}{a+c};sin\dfrac{C}{2}\le\dfrac{c}{a+b}\)
Mặt khác \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\)
\(\Rightarrow sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2}\le\dfrac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\dfrac{1}{8}\)
thấy ngay \(p_6>2\text{ do đó: }VP\equiv1\left(\text{mod 8}\right)\text{ từ đó suy VP cũng đồng dư với 1 mod 8}\)
có bổ đề SCP LẺ chia 8 dư 1 do đó:
trong 5 số: \(p_1;p_2;...;p_5\text{ có 4 số chẵn; 1 số lẻ không mất tính tổng quát giả sử: }p_5\text{ lẻ}\Rightarrow16+p_5^2=p_6^2\text{(đơn giản)}\)
\(p+1=2a^2;p^2+1=2b^2\Rightarrow p\left(p-1\right)=2\left(b-a\right)\left(b+a\right)\)
\(\text{thấy ngay p lẻ}\Rightarrow UCLN\left(p^2+1,p+1\right)=1;\Rightarrow\left(a,b\right)=1\Rightarrow\left(b-a,a+b\right)=1\)
thấy ngay p>b-a nên: \(p=a+b;p-1=2a-2b\text{ hay:}a+b=2b-2a+1\Leftrightarrow3a=b+1\)
đến đây thì đơn giản
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} a+b=x\\ ab=y\end{matrix}\right.\)
Giả sử d là ước nguyên tố chung giữa $x,y$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b\vdots p\\ ab\vdots p\Rightarrow a\vdots p \text{ hoặc b}\vdots p\end{matrix}\right.\)
Nếu \(a\vdots p; a+b\vdots p\Rightarrow b\vdots p\)
Nếu \(b\vdots p; a+b\vdots p\Rightarrow a\vdots p\)
Vậy có nghĩa là $p$ là ước chung của $a,b$
Mà theo đề bài thì $a,b$ nguyên tố cùng nhau nên suy ra $p=1$ (vô lý)
Vậy $x,y$ không có ước nguyên tố chung hay $x,y$ nguyên tố cùng nhau.
Khi đó: \(\frac{8}{73}=\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\frac{a+b}{(a+b)^2-3ab}=\frac{x}{x^2-3y}\)
\(\Leftrightarrow 8(x^2-3y)=73x\) $(*)$
\(\Leftrightarrow 8x^2-73x=24y\vdots x\)
Mà \((x,y)=1\Rightarrow 24\vdots x\) (1)
Cũng từ $(*)$ ta suy ra $73x$ chia hết cho $8$, kéo theo $x$ chia hết cho $8$ (2)
Từ (1); (2) \(\Rightarrow x\in\left\{8;16;24\right\}\)
TH1: \(x=8\Rightarrow y=\frac{8x^2-73x}{24}=-3<0\) (vô lý)
TH2: \(x=16\Rightarrow y=\frac{8x^2-73x}{24}=\frac{110}{3}\not\in\mathbb{N}\)
TH3: \(x=24\Rightarrow y=\frac{8x^2-73x}{24}=119\)
Khi đó \(a+b=24; ab=119\). Áp dụng định lý Viete đảo thì $a,b$ là nghiệm của PT: \(X^2-24X+119=0\)
\(\Leftrightarrow (a,b)=(17,7)\) và hoán vị (thỏa mãn)